Inverta a ordem de integração na integral
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para descrever a região de integração no plano
e depois expressar os limites trocando a ordem
.
Passo 2
Vamos caracterizar a região
No plano, ela é limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro projetamos
no eixo
. Como em
temos
e
, o menor
ocorre em
e o maior em
dando
. Logo
Passo 4
Para cada valor fixo de
, os
de
satisfazem simultaneamente
Isto é
Passo 5
Note que o valor de
e
muda em
:
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Portanto, invertendo a ordem, a integral vira a soma de dois trechos: