Inverta a ordem de integração na integral
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{x} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{\ln x}^{x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para descrever a região de integração no plano (x,y) e depois expressar os limites trocando a ordem dx\,dy.

Passo 2

Vamos caracterizar a região
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\\ \ln x\le y\le x\}.
No plano, ela é limitada pelas curvas y=\ln x, y=x, e pelas retas verticais x=1 e x=e.

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro projetamos D no eixo y. Como em D temos \ln x\le y\le x e 1\le x\le e, o menor y ocorre em \ln1=0 e o maior em x=e dando y=e. Logo
0\le y\le e.

Passo 4

Para cada valor fixo de y, os x de D satisfazem simultaneamente
1\le x\le e,\quad \ln x\le y\quad\Longleftrightarrow\quad x\le e^y,\quad y\le x.
Isto é
x\in[\max(1,y),\,\min(e,e^y)].

Passo 5

Note que o valor de \max(1,y) e \min(e,e^y) muda em y=1:
  • Se 0\le y\le1, então \max(1,y)=1 e e^y\le e, logo x\in[1,e^y].
  • Se 1\le y\le e, então \max(1,y)=y e e^y\ge e, logo x\in[y,e].
    Portanto, invertendo a ordem, a integral vira a soma de dois trechos:
\int_{0}^{1}\!\Bigl[\int_{1}^{e^{y}}f(x,y)\,dx\Bigr]dy \;+\; \int_{1}^{e}\!\Bigl[\int_{y}^{e}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Resposta

\int_{1}^{e}\Bigl[\int_{\ln x}^{x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\!\Bigl[\int_{1}^{e^{y}}f(x,y)\,dx\Bigr]dy \;+\; \int_{1}^{e}\!\Bigl[\int_{y}^{e}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

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