Calcule o volume dos conjuntos dados:
{(x, y, z) pertence a R^3 | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional (ℝ³) que estão limitados pelas condições: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas condições representam. Cada inequação define um intervalo para uma das coordenadas:
  • 0 ≤ x ≤ 1: O valor de x varia de 0 a 1.
  • 0 ≤ y ≤ 1: O valor de y varia de 0 a 1.
  • 0 ≤ z ≤ 2: O valor de z varia de 0 a 2.
Essas restrições delimitam um paralelepípedo no espaço, que é uma forma geométrica com seis faces retangulares.

Passo 3

Para encontrar o volume desse paralelepípedo, usamos a fórmula básica do volume para caixas retangulares, que é o produto das suas dimensões:
Aqui, o comprimento é 1 (para o eixo x), a largura é 1 (para o eixo y) e a altura é 2 (para o eixo z).

Passo 4

Aplicando os valores à fórmula:

Passo 5

Fazendo a multiplicação:

Resposta

O volume do conjunto dado é 2 unidades cúbicas.

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