Calcule o volume e a densidade de uma esfera baseado nos dados do diâmetro da esfera medido com um micrômetro e da massa medida com uma balança analítica.
Diâmetro (mm) (Incerteza: 0,005) Massa (g) (Incerteza: 0,01)
30,901 30,78
30,509 30,72
29,889 30,74
29,878 30,72
30,888 30,83

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume e a densidade de uma esfera a partir de várias medidas de diâmetro (com incerteza instrumental de 0,005,mm) e massa (com incerteza de 0,01,g). Vamos primeiro tratar estatisticamente as repetidas medições para obter média e incerteza tipo A de cada grandeza, depois usar as fórmulas
V = 43pil(d2r)^3, rho = mV
e propagar incertezas por diferenciação.

Passo 2

Calcular a média e a incerteza tipo A do diâmetro. As cinco medidas em mm são
30,901,;30,509,;29,889,;29,878,;30,888
A média é
bard = 30,901+30,509+29,889+29,878+30,8885 = 30,413 mm
O desvio-padrão amostral é
sd = raizsumi (di-bar d)^24 = 0,508 mm,
e o erro padrão da média é
ubar d = sdraiz5 = 0,227 mm
Como ubar dgg0,005,mm, descartamos a incerteza instrumental.

Passo 3

Calcular o volume médio e sua incerteza. Primeiro convertemos para cm:
bar d=30,413,mm =3,0413,cm e ubar d=0,227,mm =0,0227,cm. O volume é
V = 43pil(bar d2r)^3 = pi,bar d^36 approx 14,74 cm^3
Para propagar incerteza usamos
partial Vpartial d = pi,d^22,
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uV = pi,bar d^22;ubar d approx 0,33 cm^3
Portanto
V = (14,74 pm 0,33) cm^3

Passo 4

Calcular a média e o erro da massa. As cinco medidas em g são
30,78,;30,72,;30,74,;30,72,;30,83
A média é
bar m = 30,78+30,72+30,74+30,72+30,835 = 30,758 g
O desvio-padrão amostral é sm=0,047,g e o erro padrão da média é
ubar m = smraiz5 = 0,021 g
A incerteza instrumental ( 0,01,g) é menor, então mantemos ubar m=0,021,g.

Passo 5

Calcular densidade e incerteza. A densidade média é
rho = bar mV = 30,75814,74 approx 2,087 g/cm^3
A incerteza relativa é
urhorho = raizl(ubar mbar mr)^2 + l(uVVr)^2 approx raizl(0,02130,758r)^2 + l(0,3314,74r)^2 approx 0,0224,
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urho = rho times 0,0224 approx 0,047 g/cm^3

Resposta

Volume: V=(14,74pm0,33),cm ^3
Densidade: rho=(2,09pm0,05),g/cm ^3

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