Questão ( 10 pontos ) - Podemos considerar o corpo humano um condutor cilíndrico de 1,75 m de altura, de
de raio e mantido a uma temperatura
. Em uma noite fria de inverno, temperatura de
, revestimos este condutor com 3 cm de espessura de lã (
). Sabendo-se que o coeficiente de película externo (convecção) da lã é de
, considerando apenas fluxo radial de calor, calcule:
a) taxa de transferência de calor;
b) Temperatura na superfície externa do cobertor de lã. Despreze as tampas do cilindro.
a) taxa de transferência de calor;
b) Temperatura na superfície externa do cobertor de lã. Despreze as tampas do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transferência de calor em um modelo simplificado do corpo humano como um cilindro. A gente vai trabalhar com conceitos de condução e convecção de calor. Para resolver, vamos precisar usar a lei de condução de Fourier e a equação de convecção. Nosso objetivo é calcular:
a) A taxa de transferência de calor.
b) A temperatura na superfície externa do cobertor de lã.
b) A temperatura na superfície externa do cobertor de lã.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é taxa de transferência de calor. Ela indica quanta energia térmica está sendo transferida por unidade de tempo. Como estamos lidando com condução através da lã e convecção na superfície externa, teremos que considerar ambas no cálculo.
Passo 3
Vamos começar calculando a transferência de calor por condução através da lã. Para isso, usamos a lei de Fourier para condução radial em cilindros, que é dada por:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor por condução. -
é a condutividade térmica da lã. -
é a altura do cilindro. -
é a temperatura interna (37°C). -
é a temperatura na superfície externa do cobertor que vamos achar depois. -
é o raio interno (0,3 m). -
é o raio externo ( espessura da lã).
Passo 4
Agora, vamos considerar a convecção na superfície externa do cobertor. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor por convecção. -
é o coeficiente de convecção. -
é a área da superfície externa. -
é a temperatura ambiente (12°C).
Como o sistema está em regime estacionário, a taxa de calor por condução deve ser igual à taxa de calor por convecção:
Passo 5
Vamos calcular os parâmetros necessários:
- Espessura da lã: 3 cm = 0,03 m
- Raio externo:
m - Área da superfície externa:
Calculando
:
Passo 6
Substituindo na equação de condução:
Calculando o denominador:
Assim,
Passo 7
Agora, igualamos
e
:
Simplificando,
Calculando os coeficientes:
Então,
Passo 8
Vamos resolver a equação para
:
Calculando:
Reunindo os termos de
:
Resposta
a) A taxa de transferência de calor é aproximadamente 4,63 W.
b) A temperatura na superfície externa do cobertor de lã é aproximadamente 19,47°C.