2^ a Questão ( 10 pontos ) - Podemos considerar o corpo humano um condutor cilíndrico de 1,75 m de altura, de 0,3 m de raio e mantido a uma temperatura 37^circ C. Em uma noite fria de inverno, temperatura de 12^circ C, revestimos este condutor com 3 cm de espessura de lã ( k=0,04 J / s m ^circ C ). Sabendo-se que o coeficiente de película externo (convecção) da lã é de 3 W / m^2 ^circ C, considerando apenas fluxo radial de calor, calcule:
a) taxa de transferência de calor;
b) Temperatura na superfície externa do cobertor de lã. Despreze as tampas do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transferência de calor em um modelo simplificado do corpo humano como um cilindro. A gente vai trabalhar com conceitos de condução e convecção de calor. Para resolver, vamos precisar usar a lei de condução de Fourier e a equação de convecção. Nosso objetivo é calcular:
a) A taxa de transferência de calor.
b) A temperatura na superfície externa do cobertor de lã.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é taxa de transferência de calor. Ela indica quanta energia térmica está sendo transferida por unidade de tempo. Como estamos lidando com condução através da lã e convecção na superfície externa, teremos que considerar ambas no cálculo.

Passo 3

Vamos começar calculando a transferência de calor por condução através da lã. Para isso, usamos a lei de Fourier para condução radial em cilindros, que é dada por:
Qcondução = 2 pi k L (Ti - To)ln(rori) çã
Onde:
  • Qcondução çã é a taxa de transferência de calor por condução.
  • k é a condutividade térmica da lã.
  • L é a altura do cilindro.
  • Ti é a temperatura interna (37°C).
  • To é a temperatura na superfície externa do cobertor que vamos achar depois.
  • ri é o raio interno (0,3 m).
  • ro é o raio externo ( ri + espessura da lã).

Passo 4

Agora, vamos considerar a convecção na superfície externa do cobertor. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Qconvecção = h A (To - Tamb) çã
Onde:
  • Qconvecção çã é a taxa de transferência de calor por convecção.
  • h é o coeficiente de convecção.
  • A é a área da superfície externa.
  • Tamb é a temperatura ambiente (12°C).
Como o sistema está em regime estacionário, a taxa de calor por condução deve ser igual à taxa de calor por convecção:
Qcondução = Qconvecção çãçã

Passo 5

Vamos calcular os parâmetros necessários:
  • Espessura da lã: 3 cm = 0,03 m
  • Raio externo: ro = 0,3 + 0,03 = 0,33 m
  • Área da superfície externa: A = 2 pi ro L = 2 pi times 0,33 times 1,75
Calculando A :
A = 2 pi times 0,33 times 1,75 approx 3,617 , m^2

Passo 6

Substituindo na equação de condução:
Q = 2 pi times 0,04 times 1,75 times (37 - To)ln(0,330,3)
Calculando o denominador:
ln(0,330,3) = ln(1,1) approx 0,0953
Assim,
Q = 2 pi times 0,04 times 1,75 times (37 - To)0,0953

Passo 7

Agora, igualamos Qcondução çã e Qconvecção çã:
2 pi times 0,04 times 1,75 times (37 - To)0,0953 = 3 times 3,617 times (To - 12)
Simplificando,
2 pi times 0,04 times 1,750,0953 (37 - To) = 10,851 times (To - 12)
Calculando os coeficientes:
2 pi times 0,04 times 1,750,0953 approx 4,63
Então,
4,63 (37 - To) = 10,851 (To - 12)

Passo 8

Vamos resolver a equação para To :
4,63 times 37 - 4,63 To = 10,851 To - 10,851 times 12
Calculando:
171,31 - 4,63 To = 10,851 To - 130,212
Reunindo os termos de To :
171,31 + 130,212 = 10,851 To + 4,63 To
301,522 = 15,481 To
To = 301,52215,481 approx 19,47^circ C

Resposta

a) A taxa de transferência de calor é aproximadamente 4,63 W.
b) A temperatura na superfície externa do cobertor de lã é aproximadamente 19,47°C.

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