Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
a)
;
a)
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede as retas tangente e normal no ponto
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar
, que é o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Derivando ambos os lados de
em relação a
, obtemos
logo
Passo 3
No ponto
, o coeficiente angular da tangente é
Assim, a reta tangente, na forma ponto-inclinação, é
que pode ser simplificada para
Passo 4
A reta normal é perpendicular à tangente, portanto seu coeficiente angular é o inverso negativo de
, ou seja
Passando pelo mesmo ponto, sua equação ponto-inclinação é
que se simplifica para
Resposta
Reta tangente:
ou
Reta normal: ou
Reta normal: