Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
a) x^2-y^2=9 em(-5,4);

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^2 - y^2 = 9
e pede as retas tangente e normal no ponto (-5,4). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar y', que é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Derivando ambos os lados de x^2 - y^2 = 9 em relação a x, obtemos
2x - 2y,dydx = 0
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y' = dydx = xy

Passo 3

No ponto (-5,4), o coeficiente angular da tangente é
mt = y'l(-5,4r) = -54
Assim, a reta tangente, na forma ponto-inclinação, é
y - 4 = -54l(x + 5r),
que pode ser simplificada para
y = -54,x - 94

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, portanto seu coeficiente angular é o inverso negativo de mt, ou seja
mn = 45
Passando pelo mesmo ponto, sua equação ponto-inclinação é
y - 4 = 45l(x + 5r),
que se simplifica para
y = 45,x + 8

Resposta

Reta tangente: y - 4 = -tfrac54(x + 5) ou y = -tfrac54x - tfrac94
Reta normal: y - 4 = tfrac45(x + 5) ou y = tfrac45x + 8

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