Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções e formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral. .
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO não homogênea
e afirma que as funções
formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem, Wronskiano para independência linear e variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Verificamos que e satisfazem a homogênea
Para :
logo
Para :
logo
Passo 3
Calculamos o Wronskiano
Como t>0 implica W(t)neq0, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.]
Passo 4
A solução geral da homogênea é
yh(t)=C1,(1+t) ;+; C2,e^t
Passo 5
Para achar uma solução particular yp(t) usamos variação de parâmetros. Escrevemos a EDO na forma padrão