Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções y1=y1(t) e y2=y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral.
y^prime prime-1+tt y^prime+1t y=t e^2 t, t>0 ; y1=1+t y2=e^t.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO não homogênea
y'' - 1+tt,y' + 1t,y = t,e^2t, t>0
e afirma que as funções
y1(t)=1+t, y2(t)=e^t
formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem, Wronskiano para independência linear e variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Verificamos que y1 e y2 satisfazem a homogênea
y'' - 1+tt,y' + 1t,y = 0
Para y1=1+t:
y1'=1, y1''=0,
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0 - 1+ttcdot 1 + 1t,(1+t) = -1+tt + 1+tt = 0
Para y2=e^t:
y2'=e^t, y2''=e^t,
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e^t - 1+tt,e^t + 1t,e^t = e^tl(1 - 1+tt + 1tr) = e^tl(t - (1+t) +1tr) =0

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' =(1+t),e^t - 1cdot e^t = t,e^t
Como t>0 implica W(t)neq0, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.]

Passo 4

A solução geral da homogênea é
yh(t)=C1,(1+t) ;+; C2,e^t

Passo 5

Para achar uma solução particular yp(t) usamos variação de parâmetros. Escrevemos a EDO na forma padrão
y'' + p(t),y' + q(t),y = g(t),
onde
p(t)=-1+tt, q(t)=1t, g(t)=t,e^2t
As fórmulas dão
u1'=-y2,gW, u2'= y1,gW

Passo 6

Substituindo y1,y2,W e g:
u1'=-e^t,l(t,e^2tr)t,e^t =-e^2t, u2'=(1+t),l(t,e^2tr)t,e^t =(1+t),e^t
Integramos (escolhendo constantes de integração zero para obter uma particular):
u1(t)=integral -e^2t,dt = -tfrac12,e^2t, u2(t)=integral(1+t),e^t,dt = t,e^t

Passo 7

O particular fica
yp=u1,y1+u2,y2 =-tfrac12,e^2t(1+t) ;+; t,e^t,e^t =t-12,e^2t
Assim, a solução geral da EDO completa é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1(1+t)+C2,e^t+t-12,e^2t

Resposta

y(t)=C1(1+t)+C2,e^t+t-12,e^2t, t>0

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