Calcule o volume gerado pela rotação da área R em torno de y=-2, tal que R é limitada pelos gráficos de y=\sqrt{x}, y=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região R em torno da reta y=-2, onde R é limitada pelos gráficos de
y=\sqrt{x},\quad y=1,\quad x=4.
O conteúdo envolvido é volume de revolução em torno de uma reta horizontal, que podemos resolver usando o método dos anéis (washers).

Passo 2

Primeiro identificamos os limites de integração em x. A curva y=\sqrt{x} intersecta a reta y=1 em
\sqrt{x}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Portanto a região R fica para x variando de 1 até 4, e para cada x o y varia de y=1 (parte inferior) até y=\sqrt{x} (parte superior).

Passo 3

Ao girar em torno de y=-2, a distância do eixo até a borda superior é
R(x)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)-(-2)=\sqrt{x}+2
e a distância até a borda inferior (reta y=1) é
r(x)=1-(-2)=3.

Passo 4

Pelo método dos anéis, o volume é
V=\pi\int_{x=1}^{4}\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculamos o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = (\sqrt{x}+2)^2 - 3^2 = x + 4\sqrt{x} +4 -9 = x + 4x^{1/2} -5.
Logo
V = \pi \int_{1}^{4}\bigl(x + 4x^{1/2} -5\bigr)\,dx.

Passo 6

Encontramos a antiderivada
F(x)=\frac{x^2}{2} + \frac{8}{3}x^{3/2} -5x
e avaliamos de 1 a 4:
F(4)=\frac{16}{2} + \frac{8}{3}\cdot 8 -20 =8 + \frac{64}{3} -20 = \frac{28}{3},
F(1)=\frac{1}{2} + \frac{8}{3} -5 = -\frac{11}{6}.
Portanto
\int_{1}^{4}\bigl(x + 4x^{1/2} -5\bigr)\,dx = F(4)-F(1) = \frac{28}{3} -\Bigl(-\frac{11}{6}\Bigr) = \frac{67}{6}.
Multiplicando por \pi, o volume é:

Resposta

V = \frac{67\pi}{6}.

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