Pergunta 3 Encontre a área \int_{S} \mathrm{~d} S da superfície S \subset \mathbb{R}^{3} obtida por rotação de
y=x^{2}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 2
ao redor do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S gerada pela rotação da curva
y = x^2,\quad 0 \le x \le 2
em torno do eixo x. O conteúdo usado é a fórmula de área de superfície de revolução, que envolve derivadas e integração.

Passo 2

A fórmula para a área de superfície de revolução em torno do eixo x é
S = \int_{a}^{b} 2\pi\,y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Aqui y(x)=x^2, então
y'(x)=2x.
Substituindo na fórmula, obtemos
S = 2\pi \int_{0}^{2} x^2 \,\sqrt{1+(2x)^2}\,\mathrm{d}x = 2\pi \int_{0}^{2} x^2 \,\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para calcular
I = \int_{0}^{2} x^2 \sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x
faço a substituição trigonométrica
x = \tfrac12 \tan\theta,\quad \mathrm{d}x = \tfrac12 \operatorname{sec}^2\theta\,\mathrm{d}\theta, \quad \sqrt{1+4x^2}=\operatorname{sec}\theta.
Os limites mudam: x=0\Rightarrow\theta=0 e x=2\Rightarrow\tan\theta=4\Rightarrow\theta=\arctan4.

Passo 5

No novo integrando aparece
x^2\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\tan^2\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\;\frac12\operatorname{sec}^2\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac18\bigl(\operatorname{sec}^5\theta-\operatorname{sec}^3\theta\bigr)\mathrm{d}\theta.
Logo
I = \frac18\int_{0}^{\arctan4}\bigl(\operatorname{sec}^5\theta-\operatorname{sec}^3\theta\bigr)\mathrm{d}\theta.
Usando os resultados padrões
\int \operatorname{sec}^3\theta\,\mathrm{d}\theta =\tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\bigr),
\int \operatorname{sec}^5\theta\,\mathrm{d}\theta =\tfrac14\operatorname{sec}^3\theta\tan\theta +\tfrac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta +\tfrac{3}{8}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|,
fazendo a combinação e avaliando de 0 a \arctan4, chega-se a
I = \frac{33}{16}\,\sqrt{17} - \frac{1}{64}\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr).

Passo 6

Voltando para S, temos
S = 2\pi\,I = 2\pi\Bigl(\frac{33}{16}\sqrt{17}-\frac{1}{64}\ln(4+\sqrt{17})\Bigr) = \frac{33\pi\sqrt{17}}{8} - \frac{\pi}{32}\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr).

Resposta

S = \frac{33\pi\sqrt{17}}{8} - \frac{\pi}{32}\,\ln\bigl(4+\sqrt{17}\bigr).

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