Calcule o volume molar (Vm) do \mathrm{N}_{2} a 300 K e 100 atm, utilizando a equação de van der Waals. Compare o resultado com o volume molar previsto pela equação do gás ideal ( \mathrm{PVm}=\mathrm{RT} ). Determine o fator de compressibilidade ( Z ) nessas condições e interprete o resultado em termos de desvio da idealidade.

Passo 1

O enunciado pede o volume molar \,V_m\, do nitrogênio \mathrm{N}_2 a T=300\text{ K} e P=100\text{ atm} usando a equação de van der Waals, depois comparar com o volume molar ideal dado por P\,V_{m,\text{id}}=R\,T, e por fim calcular o fator de compressibilidade Z. Vamos usar:
– Constantes de van der Waals para \mathrm{N}_2:
a = 1,390\;\text{L}^2\!\cdot\!\text{atm}\,\text{mol}^{-2}, \quad b = 0,0391\;\text{L}\,\text{mol}^{-1}.
– Constante universal dos gases:
R = 0,08206\;\text{L}\,\text{atm}\,\text{K}^{-1}\,\text{mol}^{-1}.

Passo 2

A equação de van der Waals é
\bigl(P + \tfrac{a}{V_m^2}\bigr)\,(V_m - b) = R\,T.
Substituindo P=100\text{ atm}, T=300\text{ K}, a, b e R, obtemos
\bigl(100 + \tfrac{1{,}390}{V_m^2}\bigr)\,(V_m - 0,0391) = 0,08206\cdot300 = 24,618\;\text{L}\cdot\text{atm}\,\text{mol}^{-1}.

Passo 3

Para resolver numericamente fazemos iterações começando em V_m^{(0)}=V_{m,\text{id}}=24,618/100=0,2462 L/mol. Ajustando até satisfazer a equação, chega-se a
V_m \approx 0,236\;\text{L}\,\text{mol}^{-1}.

Passo 4

O volume molar ideal é
V_{m,\text{id}} = \frac{R\,T}{P} = \frac{0,08206\cdot300}{100} = 0,2462\;\text{L}\,\text{mol}^{-1}.

Passo 5

O fator de compressibilidade é
Z = \frac{P\,V_m}{R\,T} = \frac{100\cdot0,236}{0,08206\cdot300} \approx 0,959.

Passo 6

Como Z<1, o volume real é menor que o ideal, indicando que, nessas condições, as forças de atração entre as moléculas dominam sobre as de repulsão, tornando o gás mais “compressível” que o ideal.

Resposta

Volume molar van der Waals: V_m\approx0,236;L/mol
Volume molar ideal: V_{m,\text{id}}\approx0,2462;L/mol
Fator de compressibilidade: Z\approx0,959 (desvio devido a atrações moleculares)

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