Questão 8 (16 acertos) Um estudo exploratório foi conduzido para encontrara o efeito do \mathrm{CaCl} 2(\mathrm{X} 1) e MgCl2 (X2) na estabilidade da água (Y) de uma emulsăo alimentícia. Uma parte dos dados são reproduzidos abaixo:
Ensaios X1 X2 Y
1 50 50 6.4
2 50 50 6.2
3 50 50 5,5
4 200 50 5,7
5 200 50 4,6
6 200 50 4,9
7 50 200 6.6
8 50 200 6,6
9 50 200 5,8
10 200 200 7,1
11 200 200 6,6
12 200 200 7.7
13 125 125 4,8
14 125 125 5,1
15 125 125 5,0
16 125 125 5.4
17 125 125 4,9
Pede-se:
(a) Codifique as variáveis e monte a matriz.
(b) Por que o ponto central foi replicado 5 vezes? Justifique
(c) O planejamento montado é rotacional? Justifique.
(d) Determine os parâmetros e seu intervalos de confidência.
(e) O modelo é preditivo?
(f) Gera a superficie e simulação.
OBSERVAÇÃO. Letras (d) e (e) solução manual e no Statistica:

Passo 1

O enunciado descreve um estudo com dois fatores, X_1 (concentração de CaC l_{2}) e X_2 (concentração de MgC l_{2}), em dois níveis reais (50 e 200) mais um ponto central (125,125) replicado cinco vezes, totalizando 17 ensaios. Queremos ajustar um modelo de superfície de resposta da forma
Y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{12}\,x_1x_2 + \varepsilon,
onde x_1 e x_2 são as variáveis codificadas. As tarefas são:
(a) codificar X_1,X_2 e montar a matriz de regressores;
(b) justificar a replicação do ponto central;
(c) verificar se o planejamento é rotacional;
(d) estimar \beta_i e seus intervalos de confiança;
(e) avaliar se o modelo é preditivo;
(f) apresentar a superfície ajustada e simulação.

Passo 2

Definimos a codificação linear que leva 50\to -1, 125\to 0, 200\to +1:
x_1 = \frac{X_1 - 125}{75},\qquad x_2 = \frac{X_2 - 125}{75}.
A matriz de projeto \mathbf{X} tem colunas
  1. vetor de uns (intercepto),
  2. x_1,
  3. x_2,
  4. x_1x_2.
    O vetor resposta \mathbf{Y} contém os 17 valores medidos de estabilidade.

Passo 3

O ponto central foi replicado 5 vezes para obter estimativa de erro puro (pure error) e permitir o teste de curvatura (falta de ajustamento de um modelo de primeira ordem) sem confundi-lo com erro de estrutura.

Passo 4

Para um desenho ser rotacional, a variância de predição deve depender apenas da distância ao centro, exigindo pontos axiais (star points) em \pm\alpha. Aqui não há pontos axiais, apenas o 2^2 e centro, logo não é rotacional.

Passo 5

Pelos efeitos ortogonais do 2^2 factorial:
\beta_0 = \frac{6{,}03+5{,}07+6{,}33+7{,}13}{4}=6{,}14,
\beta_1 = \frac{(5{,}07+7{,}13)-(6{,}03+6{,}33)}{4}=-0{,}04,
\beta_2 = \frac{(6{,}33+7{,}13)-(6{,}03+5{,}07)}{4}=0{,}59,
\beta_{12} = \frac{(7{,}13+6{,}03)-(6{,}33+5{,}07)}{4}=0{,}44.

Passo 6

Do erro puro (SSE _\text{pe}=2{,}336, df=12), obtém-se
\text{MSE}=0{,}1947,\quad \sum x_j^2=12\quad(j=1,2,12),
\operatorname{se}(\beta_j)=\sqrt{\frac{\text{MSE}}{12}}=0{,}1273,\quad t_{0,025;12}=2{,}179.
Logo, intervalos de 95\%:
\beta_0:6{,}14\pm2{,}179\cdot0{,}1103\;\to\;(5{,}90,\;6{,}38),
\beta_1:-0{,}04\pm2{,}179\cdot0{,}1273\;\to\;(-0{,}32,\;0{,}24),
\beta_2:0{,}59\pm2{,}179\cdot0{,}1273\;\to\;(0{,}31,\;0{,}87),
\beta_{12}:0{,}44\pm2{,}179\cdot0{,}1273\;\to\;(0{,}16,\;0{,}72).

Passo 7

Testa-se curvatura por contraste \bar y_\text{centro}=5{,}04, \bar y_\text{fact}=6{,}14,
diferença -1{,}10 com \operatorname{se}=0{,}235, t=-4{,}68, p<0{,}01. Há curvatura significativa, o modelo de primeira ordem não é adequado globalmente, logo não é preditivo em toda a região.

Passo 8

A superfície predita em unidades naturais é
\widehat Y = 6{,}14 -0{,}04\frac{X_1-125}{75} +0{,}59\frac{X_2-125}{75} +0{,}44\frac{(X_1-125)(X_2-125)}{75^2}.
Em software (Statistica ou similar) plota-se o gráfico 3D e as curvas de nível, e pode-se simular respostas variando X_1 e X_2 dentro do retângulo [50,200]^2.

Resposta

(a) x_1=(X_1-125)/75, x_2=(X_2-125)/75. Matriz de projeto com colunas 1, x_1, x_2, x_1x_2.
(b) Para estimar erro puro e testar curvatura.
(c) Não é rotacional, pois faltam pontos axiais.
(d) \beta_0=6{,}14\;(5{,}90,6{,}38), \beta_1=-0{,}04\;(-0{,}32,0{,}24), \beta_2=0{,}59\;(0{,}31,0{,}87), \beta_{12}=0{,}44\;(0{,}16,0{,}72).
(e) Não, há curvatura significativa e falta de ajustamento de 1ª ordem.
(f) \displaystyle\widehat Y=6{,}14 -0{,}04\frac{X_1-125}{75}+0{,}59\frac{X_2-125}{75}+0{,}44\frac{(X_1-125)(X_2-125)}{75^2}, com superfície e simulação geradas em software.

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