Calcule o volume do paralelepípedo determinado por u, ve w.
u=2 i, v=2 j, w=2 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u,v e w em R^3. O conteúdo aqui é o produto misto de vetores (ou determinante de matriz 3times3), pois o volume é dado por
V = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 2

Vamos escrever as componentes dos vetores em coordenadas cartesianas:
u=(2,0,0), v=(0,2,0), w=(0,0,2).

Passo 3

Calcular o produto vetorial vtimesw. Usando a regra de Sarrus:
vtimesw = i & j & k 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 = (2cdot2 - 0cdot0),i - (0cdot2 - 0cdot0),j + (0cdot0 - 2cdot0),k =4,i

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar ucdot(vtimesw). Como u=(2,0,0) e vtimesw=4,i=(4,0,0), temos
ucdot(vtimesw) = 2cdot4 + 0cdot0 + 0cdot0 = 8

Passo 5

Finalmente, o volume é o valor absoluto desse produto misto:
V = l|ucdot(vtimesw)r| = |8| = 8

Resposta

8

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