Calcule o volume do paralelepípedo determinado por u, ve w.
u=2 i+j, v=2 i-j+k, w=i+2 k

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u, v, w. Esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto:
l| ucdot( vtimes w)r|
Para isso, vamos escrever as componentes, calcular primeiro vtimes w e depois o produto escalar com u.

Passo 2

Anotando as componentes em coordenadas cartesianas:
u = (2,1,0), v = (2,-1,1), w = (1,0,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vtimes w pelo determinante:
vtimes w = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & 0 & 2 = il((-1)cdot2 - 1cdot0r) - jl(2cdot2 - 1cdot1r) + kl(2cdot0 - (-1)cdot1r) = -2, i ;-;3, j ;+; k

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com u:
ucdot( vtimes w) = (2,1,0)cdot(-2,-3,1) =2cdot(-2)+1cdot(-3)+0cdot1 =-4-3=-7

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse resultado:
Volume = l| ucdot( vtimes w)r| = |-7| = 7

Resposta

O volume do paralelepípedo é 7.

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