Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a, b e c.
a=i+j-k,
b=i-j+k,
c=-i+j+k

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
a=i+j-k,
b=i-j+k e
c=-i+j+k.
Em Geometria Vetorial, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto
V=l|acdot(btimesc)r|

Passo 2

Para facilitar os cálculos, escrevemos as componentes dos vetores no sistema cartesiano:
a=(1,1,-1), b=(1,-1,1), c=(-1,1,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial btimesc usando o determinante:
btimesc = i & j & k 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 =il((-1)cdot1 - 1cdot1r) -jl(1cdot1 - 1cdot(-1)r) +kl(1cdot1 - (-1)cdot(-1)r)
Isso dá
btimesc =i(-2)-j(2)+k(0) =(-2,,-2,,0)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar acdot(btimesc):
acdot(btimesc) =(1,1,-1)cdot(-2,-2,0) =1cdot(-2)+1cdot(-2)+(-1)cdot0 =-4

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V=l|-4r|=4

Resposta

O volume do paralelepípedo é 4.

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