Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A pergunta é: será que esses pontos estão todos na mesma linha, ou seja, se são colineares? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se as direções entre eles são proporcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa pontos serem colineares. Se os pontos estão na mesma linha, os vetores que conectam esses pontos devem ter a mesma direção, ou seja, um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número). Para isso, vamos calcular os vetores que ligam os pontos.
Passo 3
Vamos calcular os vetores , e :
Vetor : Subtraímos as coordenadas de das de .
Vetor : Subtraímos as coordenadas de das de .
Vetor : Subtraímos as coordenadas de das de .
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores são proporcionais. Para isso, vamos ver se existe um número real [k) tal que e .
Vamos comparar as componentes:
Para e :
Resolvendo para (k]:
Tudo confere, então [\vec{AB} = -\frac{3}{7} \cdot \vec{AC}).
Para e :
Resolvendo para (k]:
Também confere, então .
Passo 5
Como os três vetores AB, AC e AD são múltiplos entre si (todos são proporcionais a AC com constantes diferentes), isso significa que todos esses pontos estão alinhados na mesma direção. Portanto, os pontos são colineares.