Verifique se os pontos A(3,5,-8), B(-3,-4,-5), C(17,26,-15) e D(-1,-1,-6) são colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A(3,5,-8), B(-3,-4,-5), C(17,26,-15) e D(-1,-1,-6). A pergunta é: será que esses pontos estão todos na mesma linha, ou seja, se são colineares? Para descobrir isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se as direções entre eles são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pontos serem colineares. Se os pontos estão na mesma linha, os vetores que conectam esses pontos devem ter a mesma direção, ou seja, um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número). Para isso, vamos calcular os vetores que ligam os pontos.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB, AC e AD:
  • Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das de B.
AB = B - A = (-3 - 3, -4 - 5, -5 - (-8)) = (-6, -9, 3)
  • Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das de C.
AC = C - A = (17 - 3, 26 - 5, -15 - (-8)) = (14, 21, -7)
  • Vetor AD: Subtraímos as coordenadas de A das de D.
AD = D - A = (-1 - 3, -1 - 5, -6 - (-8)) = (-4, -6, 2)

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores são proporcionais. Para isso, vamos ver se existe um número real [k) tal que e .
Vamos comparar as componentes:
Para e :
Resolvendo para (k]:
Tudo confere, então [\vec{AB} = -\frac{3}{7} \cdot \vec{AC}).
Para e :
Resolvendo para (k]:
Também confere, então .

Passo 5

Como os três vetores AB, AC e AD são múltiplos entre si (todos são proporcionais a AC com constantes diferentes), isso significa que todos esses pontos estão alinhados na mesma direção. Portanto, os pontos são colineares.

Resposta

Sim, os pontos A, B, C e D são colineares.

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