Dados os pontos A(1,0,1), B(1,1,1) e C(1,6, a). Quais os valores de a para que os pontos A, B e C sejam colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: A(1,0,1) , B(1,1,1) e C(1,6,a) . A questão quer saber quais valores de a fazem com que esses três pontos fiquem colineares, ou seja, que eles estejam todos na mesma reta. Para resolver isso, vamos usar vetores e verificar se os vetores formados por esses pontos são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam o ponto A aos pontos B e C . Esses vetores são chamados de vetores de posição.
  • Vetor AB é dado por B - A :
AB = (1-1, 1-0, 1-1) = (0, 1, 0)
  • Vetor AC é dado por C - A :
AC = (1-1, 6-0, a-1) = (0, 6, a-1)

Passo 3

Para os pontos serem colineares, os vetores [\vec{AB}) e precisam ser proporcionais, ou seja, deve existir um número tal que:
Substituindo os vetores que encontramos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, não aprendemos nada novo. Da segunda, temos:
Agora, substituímos (k] na terceira equação:

Resposta

O valor de a que faz os pontos A , B e C serem colineares é boxed1 .

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