Dados os pontos e . Quais os valores de para que os pontos e sejam colineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . A questão quer saber quais valores de fazem com que esses três pontos fiquem colineares, ou seja, que eles estejam todos na mesma reta. Para resolver isso, vamos usar vetores e verificar se os vetores formados por esses pontos são proporcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam o ponto aos pontos e . Esses vetores são chamados de vetores de posição.
Vetor é dado por :
Vetor é dado por :
Passo 3
Para os pontos serem colineares, os vetores [\vec{AB}) e precisam ser proporcionais, ou seja, deve existir um número tal que:
Substituindo os vetores que encontramos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, não aprendemos nada novo. Da segunda, temos:
Agora, substituímos (k] na terceira equação:
Resposta
O valor de a que faz os pontos A , B e C serem colineares é boxed1 .