Os pontos A(5,3,10), B(-1,5,8), C(-4,5,5) e D(7,0,6) são coplanares?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço
A(5,3,10), B(-1,5,8), C(-4,5,5), D(7,0,6)
e pergunta se eles são coplanares. O conteúdo aqui é usar vetores e produto misto: quatro pontos são coplanares se, e só se, o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois for zero.

Passo 2

Definimos três vetores a partir de A:
AB = B - A = (-1-5,;5-3,;8-10) = (-6,,2,,-2),
AC = C - A = (-4-5,;5-3,;5-10) = (-9,,2,,-5),
AD = D - A = (7-5,;0-3,;6-10) = (2,,-3,,-4)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimes AD:
ACtimes AD = i & j & k -9 & 2 & -5 2 & -3 & -4 = l(2cdot(-4)-(-5)cdot(-3),,-l(-9cdot(-4)-(-5)cdot2r),,-9cdot(-3)-2cdot2r)
= (-8-15,,-(36-(-10)),,27-4) = (-23,,-46,,23)
Agora o produto misto ABcdot(ACtimesAD) é
(-6,,2,,-2)cdot(-23,,-46,,23) = (-6)(-23) + 2(-46) + (-2)(23) = 138 - 92 - 46 = 0

Passo 4

Como o produto misto é zero, concluímos que AB, AC e AD são coplanares, logo os quatro pontos A,B,C,D estão no mesmo plano.

Resposta

Sim, os pontos são coplanares.

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