Os pontos A(5,3,10), B(-1,5,8), C(-4,5,5) e D(7,0,6) são coplanares? Passo 1O enunciado dá quatro pontos no espaço A(5,3,10), B(-1,5,8), C(-4,5,5), D(7,0,6) e pergunta se eles são coplanares. O conteúdo aqui é usar vetores e produto misto: quatro pontos são coplanares se, e só se, o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois for zero. Passo 2Definimos três vetores a partir de A: AB = B - A = (-1-5,;5-3,;8-10) = (-6,,2,,-2), AC = C - A = (-4-5,;5-3,;5-10) = (-9,,2,,-5), AD = D - A = (7-5,;0-3,;6-10) = (2,,-3,,-4) Passo 3Calculamos o produto vetorial ACtimes AD: ACtimes AD = i & j & k -9 & 2 & -5 2 & -3 & -4 = l(2cdot(-4)-(-5)cdot(-3),,-l(-9cdot(-4)-(-5)cdot2r),,-9cdot(-3)-2cdot2r) = (-8-15,,-(36-(-10)),,27-4) = (-23,,-46,,23) Agora o produto misto ABcdot(ACtimesAD) é (-6,,2,,-2)cdot(-23,,-46,,23) = (-6)(-23) + 2(-46) + (-2)(23) = 138 - 92 - 46 = 0 Passo 4Como o produto misto é zero, concluímos que AB, AC e AD são coplanares, logo os quatro pontos A,B,C,D estão no mesmo plano. RespostaSim, os pontos são coplanares. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDados os pontos A(1,0,1), B(1,1,1) e C(1,6, a). Quais os valores de a para que os pontos A, B e C sejam colineares. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a, b e c. a=i+j-k, b=i-j+k, c=-i+j+k Determine u cdot(v times w). u=2 i-3 j+k, v=4 i+j-3 k, w=j+5 k Determine a área do paralelogramo formados pelos vetores u e v tais que: |u|=2,|v|=3 e u cdot v=3 raiz2