Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(-6,3,-1), v=(0,1,2), w= (4,-2,5).
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de geometria vetorial onde precisamos calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores. Os vetores que temos são:
u = (-6, 3, -1), v = (0, 1, 2), w = (4, -2, 5)
Para isso, vamos usar o produto misto dos vetores, que nos dá o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é calculado como o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Ou seja:
Produto Misto = u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3
Esse determinante nos dá o volume do paralelepípedo. Vamos montar a matriz com os vetores dados.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores u, v e w:
-6 & 0 & 4 3 & 1 & -2 -1 & 2 & 5
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Determinante = (-6) times 1 times 5 + 0 times (-2) times (-1) + 4 times 3 times 2 - 4 times 1 times (-1) - 0 times 3 times 5 - (-6) times (-2) times 2
Vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
-6 times 1 times 5 = -30
0 times (-2) times (-1) = 0
4 times 3 times 2 = 24
-4 times 1 times (-1) = 4
0 times 3 times 5 = 0
-(-6) times (-2) times 2 = -24
Agora, somamos e subtraímos esses valores:
-30 + 0 + 24 - 4 - 0 - 24 = -34

Passo 6

O valor do determinante é -34. Como o volume não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:
V = | -34 | = 34

Resposta

O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w é 34 unidades cúbicas.

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