Determine uma equação cartesiana do plano:
(a) Que passa pelo ponto (2,0,1) e é paralelo ao plano 5 x-y-z=6.
5 x-y-z=7

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto (2, 0, 1) e que seja paralelo ao plano 5x - y - z = 6 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender o que significa dois planos serem paralelos e como usar um ponto conhecido para encontrar a equação do plano desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois planos são paralelos se eles tiverem os mesmos coeficientes para x , y e z . Ou seja, eles têm a mesma orientação no espaço. No nosso caso, o plano dado é 5x - y - z = 6 . Isso significa que qualquer plano paralelo a este terá a forma 5x - y - z = D , onde D é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos usar o ponto pelo qual o novo plano passa para encontrar o valor de D . O ponto dado é (2, 0, 1) . Vamos substituir essas coordenadas na equação geral do plano paralelo para descobrir D .
Substituindo x = 2 , y = 0 e z = 1 na equação 5x - y - z = D :
5(2) - (0) - (1) = D
10 - 0 - 1 = D
D = 9

Resposta

Portanto, a equação cartesiana do plano é:
5x - y - z = 9

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