Beleza, o enunciado pede para calcular três integrais duplas em regiões circulares usando coordenadas polares, então vamos aproveitar que em polares temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dx,dy=r,dr,d\theta.
Passo 2
Para (a), a região é o primeiro quadrante do disco unitário: 0≤x≤√(1−y²), 0≤y≤1. Em polares isso vira 0≤r≤1 e 0≤θ≤π/2, com dx,dy=r,dr,dθ. A integral fica
Passo 3
Agora resolvemos (a) fazendo primeiro a integral em r:
Depois em θ:
integral0^π/2 12ln2,dθ = π2cdot12ln2 = π4ln2
Passo 4
Para (b), a região é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante: 0≤x≤2, 0≤y≤√(4−x²). Em polares: 0≤r≤2, 0≤θ≤π/2 e dx,dy=r,dr,dθ. O integrando (x²+y²)^{3/2} vira r^3, então a integral é