Determine as integrais abaixo utilizando coordenadas polares:
(a) integral0^1 integral0^raiz1-y^2 11+x^2+y^2 d x d y
(b) integral0^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2)^32 d y d x
© integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 sen(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular três integrais duplas em regiões circulares usando coordenadas polares, então vamos aproveitar que em polares temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dx,dy=r,dr,d\theta.

Passo 2

Para (a), a região é o primeiro quadrante do disco unitário: 0≤x≤√(1−y²), 0≤y≤1. Em polares isso vira 0≤r≤1 e 0≤θ≤π/2, com dx,dy=r,dr,dθ. A integral fica
integral0^π/2integral0^1 11+r^2 ,r,dr,dθ

Passo 3

Agora resolvemos (a) fazendo primeiro a integral em r:
integral0^1 r1+r^2 ,dr = 12ln(1+r^2)|0^1 = 12ln2
Depois em θ:
integral0^π/2 12ln2,dθ = π2cdot12ln2 = π4ln2

Passo 4

Para (b), a região é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante: 0≤x≤2, 0≤y≤√(4−x²). Em polares: 0≤r≤2, 0≤θ≤π/2 e dx,dy=r,dr,dθ. O integrando (x²+y²)^{3/2} vira r^3, então a integral é
integral0^π/2integral0^2 r^3cdot r,dr,dθ = integral0^π/2integral0^2 r^4,dr,dθ

Passo 5

A integral em r para (b) dá
integral0^2 r^4,dr = r^55|0^2 = 325,
e em θ:
integral0^π/2 325,dθ = 325cdotπ2 = 16π5

Passo 6

Para ©, a região é o disco completo de raio 1: −1≤y≤1, −√(1−y²)≤x≤√(1−y²). Em polares: 0≤r≤1, 0≤θ≤2π e dx,dy=r,dr,dθ. O integrando sen(x²+y²) vira sen(r²), então
integral0^2πintegral0^1 sin(r^2),r,dr,dθ

Passo 7

Para © fazemos u=r² ⇒ du=2r,dr, logo r,dr=du/2. A parte radial é
integral0^1 sin(r^2),r,dr = 12integral0^1sin(u),du = 12(1-cos1)
Multiplicando pela integral em θ: ∫₀^{2π}(1/2)(1−cos1)dθ = π(1−cos1).

Resposta

a) tfracπ4ln2; b) tfrac16π5; c) π(1−cos1).

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