Determine
, em que:
(a)
.
(b)
é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados no primeiro octante e pelo plano
.
(c)
é o tetraedro do primeiro octante delimitado pelos planos
e
.
(d)
situa-se abaixo da superfície
e acima do retângulo
.
(e)
é a região entre as superfícies
e
para
.
Resp.: a) 18 b)
c)
d) 0 e) 12
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Resp.: a) 18 b)
Passo 1
O que a gente tem aqui são cinco integrais triplas
sobre regiões
de geometria simples (paralelepípedo, tetraedro, região sob um gráfico etc.). Para resolvê-las vamos usar o Teorema de Fubini (integração iterada), explorar a linearidade do integrando e, quando couber, a simetria ou propriedades de integrais de funções ímpares.
Passo 2
(a)
e
Pela linearidade,
Cada termo separa em produto de integrais unidimensionais:
Somando dá
Passo 3
(b)
e
é o tetraedro no primeiro octante sob o plano
. Podemos tomar a ordem
Então
Integramos em
:
Em seguida em
:
e por fim em
:
Passo 4
(c)
e
é o tetraedro no primeiro octante delimitado pelos planos
,
,
e
.
Nesse caso as desigualdades são
Nesse caso as desigualdades são
A integral vira
Em
:
Em
:
Finalmente em
:
Passo 5
(d)
e
Para cada
fixo,
vai de
a
. Mas note que
é ímpar em
e o intervalo em
é simétrico de
a
. Logo
por simetria do integrando em
.
Passo 6
(e)
e
é a região entre
(inferior) e
(superior), com
. A base em
é dada por
e para cada
,
Então
Integramos em
:
Agora em
, note que a parte com
some por ser ímpar em
sobre
, restando
Por fim em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)