Determine integral triplaT f(x, y, z) d V, em que:
(a) f(x, y, z)=x+y+z ; T=(x, y, z) ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3,0 <= z <= 1.
(b) f(x, y, z)=x^2 ; T é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados no primeiro octante e pelo plano x+y+z=1.
(c) f(x, y, z)=x^2 ; T é o tetraedro do primeiro octante delimitado pelos planos x=12, y=12, z=0 e x+y+z=1.
(d) f(x, y, z)=x y z ; T situa-se abaixo da superfície z=1-x^2 e acima do retângulo -1 <= x <= 1,0 <= y <= 2.
(e) f(x, y, z)=x+y ; T é a região entre as superfícies z=2-x^2 e z=x^2 para 0 <= y <= 3.
Resp.: a) 18 b) 1 / 60 c) 31 / 1920 d) 0 e) 12

Passo 1

O que a gente tem aqui são cinco integrais triplas integral triplaT f(x,y,z),dV sobre regiões T de geometria simples (paralelepípedo, tetraedro, região sob um gráfico etc.). Para resolvê-las vamos usar o Teorema de Fubini (integração iterada), explorar a linearidade do integrando e, quando couber, a simetria ou propriedades de integrais de funções ímpares.

Passo 2

(a) f(x,y,z)=x+y+z e
T=(x,y,z)mid 0<= x<=2,;0<= y<=3,;0<= z<=1
Pela linearidade,
integral triplaT(x+y+z),dV =integral triplaT x,dV+integral triplaT y,dV+integral triplaT z,dV
Cada termo separa em produto de integrais unidimensionais:
integral triplaT x,dV =l(integral0^2 x,dxr)l(integral0^3 dyr)l(integral0^1 dzr) =2^22cdot3cdot1=6,
integral triplaT y,dV =2cdot3^22cdot1=9, integral triplaT z,dV =2cdot3cdot1^22=3
Somando dá
6+9+3=18

Passo 3

(b) f(x,y,z)=x^2 e T é o tetraedro no primeiro octante sob o plano x+y+z=1. Podemos tomar a ordem
0<= z<=1-x-y, 0<= y<=1-x, 0<= x<=1
Então
integral triplaT x^2,dV =integralx=0^1!integraly=0^1-x!integralz=0^1-x-yx^2,dz,dy,dx
Integramos em z:
integral0^1-x-yx^2,dz =x^2(1-x-y)
Em seguida em y:
integral0^1-xx^2(1-x-y),dy =x^2(1-x)^22
e por fim em x:
integral0^1 x^2(1-x)^22,dx =12integral0^1(x^2-2x^3+x^4),dx =12l[x^33-x^42+x^55r]0^1 =160

Passo 4

(c) f(x,y,z)=x^2 e T é o tetraedro no primeiro octante delimitado pelos planos
;y=tfrac12, x=0, z=0 e x+y+z=1.
Nesse caso as desigualdades são
0<= y<=tfrac12, 0<= x<=1-y, 0<= z<=1-x-y
A integral vira
integral triplaT x^2,dV =integraly=0^1/2!integralx=0^1-y!integralz=0^1-x-yx^2,dz,dx,dy
Em z:
integral0^1-x-yx^2,dz =x^2(1-x-y)
Em x:
integral0^1-yx^2(1-x-y),dx =(1-y)^412
Finalmente em y:
integral0^1/2(1-y)^412,dy =112l[-(1-y)^55r]0^1/2 =112cdot31160 =311920

Passo 5

(d) f(x,y,z)=xyz e
T=(x,y,z)mid -1<= x<=1,;0<= y<=2,;0<= z<=1-x^2
Para cada (x,y) fixo, z vai de 0 a 1-x^2. Mas note que xyz é ímpar em x e o intervalo em x é simétrico de -1 a 1. Logo
integral triplaT xyz,dV =integraly=0^2!integralx=-1^1!integralz=0^1-x^2xyz,dz,dx,dy =0
por simetria do integrando em x.

Passo 6

(e) f(x,y,z)=x+y e T é a região entre z=x^2 (inferior) e z=2-x^2 (superior), com 0<= y<=3. A base em xy é dada por
x^2<=2-x^2;Longrightarrow;-1<= x<=1, 0<= y<=3,
e para cada (x,y),
x^2<= z<=2-x^2
Então
integral triplaT(x+y),dV =integraly=0^3!integralx=-1^1!integralz=x^2^2-x^2(x+y),dz,dx,dy
Integramos em z:
integralx^2^2-x^2(x+y),dz =(x+y)l[(2-x^2)-x^2r] =(x+y)(2-2x^2)
Agora em x, note que a parte com x(2-2x^2) some por ser ímpar em x sobre [-1,1], restando
integral-1^1 y(2-2x^2),dx =yintegral-1^1(2-2x^2),dx =yl[4-43r] =8y3
Por fim em y:
integral0^38y3,dy =83cdot3^22 =12

Resposta

(a) 18
(b) tfrac160
(c) tfrac311920
(d) 0
(e) 12

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