Determine a área da superfície da:
(a) esfera de raio a;
(b) parte do parabolóide hiperbólico z=x^2-y^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Resp.: pi6(17 raiz17-5 raiz5).

Passo 1

O enunciado pede a área de duas superfícies: (a) a esfera de raio a, cujo conteúdo é aplicar a fórmula de área de superfície em coordenadas esféricas; (b) a porção do paraboloide hiperbólico z=x^2-y^2 entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, cujo conteúdo é usar a fórmula de área de gráfico de função z=f(x,y):
área=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA á

Passo 2

Para a esfera de raio a, usamos coordenadas esféricas:
vec r(phi,theta)=l(asinphicostheta,;asinphisintheta,;acosphir),
com 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi. O elemento de área é
l|partialphivec rtimespartialthetavec rr|,dphi,dtheta = a^2sinphi,dphi,dtheta
Integrando,
áreaesfera =integral0^2pi!integral0^pia^2sinphi,dphi,dtheta =2pi a^2l[-cosphir]0^pi =4pi a^2 á

Passo 3

Para o paraboloide z=x^2-y^2, temos
fx=2x, fy=-2y Longrightarrow raiz1+fx^2+fy^2=raiz1+4x^2+4y^2
Em coordenadas polares l(x=rcostheta,y=rsinthetar), o integrando vira raiz1+4r^2 e dA=r,dr,dtheta. A região 1<= r<=2, 0<=theta<=2pi
área =integral0^2pi!integral1^2raiz1+4r^2,r,dr,dtheta =2piintegral1^2rraiz1+4r^2,dr á
Fazendo u=1+4r^2, du=8r,dr, os limites vão de u(1)=5 a u(2)=17:
2piintegral1^2rraiz1+4r^2,dr =2piintegral5^17raizu8,du =pi4integral5^17u^1/2du =pi4cdot23l[u^3/2r]5^17 =pi6l(17raiz17-5raiz5r)

Resposta

(a) 4pi a^2
(b) pi6l(17raiz17-5raiz5r)

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