Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}. \mathbf{a}=\langle 6,3,-1\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 0,1,2\rangle, \quad \mathbf{c}=\langle 4,-2,5\rangle Passo 1O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}. Na geometria vetorial em \mathbb{R}^3, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto, ou seja \text{Volume} = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|. Passo 2Vamos calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a fórmula do determinante: \mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot5-2\cdot(-2)) - \mathbf{j}(0\cdot5-2\cdot4) + \mathbf{k}(0\cdot(-2)-1\cdot4). Isso fica \mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}(5+4)-\mathbf{j}(-8)+\mathbf{k}(-4) = (9,\,8,\,-4). Passo 3Agora calculamos o produto escalar de \mathbf{a} com esse resultado: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \langle 6,3,-1\rangle \cdot \langle 9,8,-4\rangle = 6\cdot9 + 3\cdot8 + (-1)\cdot(-4) = 54 + 24 + 4 = 82. Passo 4O volume é o valor absoluto desse produto escalar: \text{Volume} = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| = |82| = 82. Resposta 82 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine o ângulo entre os vetores. \mathbf{a}=\langle 4,3\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 2,-1\rangle \mathbf{a}=\langle-2,5\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 5,12\rangle \mathbf{a}=\langle 3,-1,5\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-2,4,3\rangle R: \mathbf{6 3}{ }^{\mathbf{\circ}}, ~ \mathbf{8 1}^{\mathbf{~}} \boldsymbol{} Suponha que a siderúrgica onde trabalha fabrica uma chapa de metal no formato de um paralelogramo formada a partir dos vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), com medidas dadas em metros. O material dessa chapa custa \mathrm{R} \ 28,00 por\mathrm{m}^{2}$. Qual o custo na produção de dez chapas iguais a essa? Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos \mathrm{A}(2,1), \mathrm{B}(3,5) e \mathrm{C}(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em \mathrm{km}^{2}, é de: R: \frac{\mathbf{1 7}}{\mathbf{2}} Resolva as EDOs a seguir. y^{\prime \prime}=\cos (2 x)