Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}.
\mathbf{a}=\langle 6,3,-1\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 0,1,2\rangle, \quad \mathbf{c}=\langle 4,-2,5\rangle

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}. Na geometria vetorial em \mathbb{R}^3, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto, ou seja
\text{Volume} = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a fórmula do determinante:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot5-2\cdot(-2)) - \mathbf{j}(0\cdot5-2\cdot4) + \mathbf{k}(0\cdot(-2)-1\cdot4).
Isso fica
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}(5+4)-\mathbf{j}(-8)+\mathbf{k}(-4) = (9,\,8,\,-4).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar de \mathbf{a} com esse resultado:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \langle 6,3,-1\rangle \cdot \langle 9,8,-4\rangle = 6\cdot9 + 3\cdot8 + (-1)\cdot(-4) = 54 + 24 + 4 = 82.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse produto escalar:
\text{Volume} = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr| = |82| = 82.

Resposta

82

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