Determine a área do triângulo gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional:
e
.
O que se pede é a área do triângulo gerado por esses dois vetores (ou seja, o triângulo cujos dois lados são os vetores e
saindo da mesma origem).
O que se pede é a área do triângulo gerado por esses dois vetores (ou seja, o triângulo cujos dois lados são os vetores
Informações relevantes:
-
. -
. - Quer-se a área do triângulo formado por
e .
Passo 2
Ideia e fórmula principal (explicada): a área do paralelogramo gerado por dois vetores
e
em
é igual ao módulo do produto vetorial
. O triângulo formado por esses vetores tem exatamente metade dessa área. Portanto a área pedida vale
Explicando o produto vetorial de forma simples: se
e
, então
Esse vetor é perpendicular a ambos
e
e seu comprimento tem a interpretação geométrica
, onde
é o ângulo entre
e
. Não precisamos achar
explicitamente porque calculamos diretamente
.
Passo 3
Aplicar a fórmula do produto vetorial aos vetores dados.
Primeiro identifiquemos componentes:
e
.
Primeiro identifiquemos componentes:
Calculemos cada componente de
:
- Componente
(primeira):
- Componente
(segunda):
- Componente
(terceira):
Logo
Passo 4
Calcular o módulo de
. Para um vetor
temos
. Aplicando:
Esse é o comprimento do vetor normal ao paralelogramo, ou seja, é a área do paralelogramo gerado por
e
.
Passo 5
Finalmente, a área do triângulo é metade da área do paralelogramo:
Pronto — se bater aquele desespero, lembra: produto vetorial pra área é praticamente regra de ouro em 3D. Vai com calma, refaz os passos na prova e confere as contas.