Determine a área do triângulo gerado pelos vetores \vec{u}=(1,2,1) e \vec{v}=(2,0,1).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional:
\vec{u}=(1,2,1) e \vec{v}=(2,0,1).
O que se pede é a área do triângulo gerado por esses dois vetores (ou seja, o triângulo cujos dois lados são os vetores \vec{u} e \vec{v} saindo da mesma origem).
Informações relevantes:
  • \vec{u}=(1,2,1).
  • \vec{v}=(2,0,1).
  • Quer-se a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Ideia e fórmula principal (explicada): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 é igual ao módulo do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{v}\|. O triângulo formado por esses vetores tem exatamente metade dessa área. Portanto a área pedida vale
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ
Explicando o produto vetorial de forma simples: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Esse vetor é perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v} e seu comprimento tem a interpretação geométrica \|\vec{u}\|\:\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Não precisamos achar \theta explicitamente porque calculamos diretamente \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 3

Aplicar a fórmula do produto vetorial aos vetores dados.
Primeiro identifiquemos componentes:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,2,1) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,0,1).
Calculemos cada componente de \vec{u}\times\vec{v}:
  • Componente x (primeira):
u_2v_3-u_3v_2 = 2\cdot 1 - 1\cdot 0 = 2-0=2.
  • Componente y (segunda):
u_3v_1-u_1v_3 = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2-1=1.
  • Componente z (terceira):
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot 0 - 2\cdot 2 = 0-4=-4.
Logo
\vec{u}\times\vec{v}=(2,1,-4).

Passo 4

Calcular o módulo de \vec{u}\times\vec{v}. Para um vetor (a,b,c) temos \|(a,b,c)\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aplicando:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}.
Esse é o comprimento do vetor normal ao paralelogramo, ou seja, é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\frac{1}{2}\sqrt{21}.Áâ
Pronto — se bater aquele desespero, lembra: produto vetorial pra área é praticamente regra de ouro em 3D. Vai com calma, refaz os passos na prova e confere as contas.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sqrt{21}

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