Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço:
e
. A pergunta é: determinar a projeção ortogonal de
sobre
.
Vou listar claramente o que se pede e o que já tenho:
Vou listar claramente o que se pede e o que já tenho:
- Pedem
, isto é, o vetor resultado da projeção ortogonal de na direção de . - Dados:
e .
Passo 2
O conceito-chave: a projeção ortogonal de
sobre
é o vetor paralelo a
que representa a “sombra” de
na direção de
. A fórmula padrão (que vou justificar e usar) é
Aqui
é o produto interno (ou produto escalar) entre
e
, e
é o quadrado da norma de
. A razão
é um escalar que dá o quanto de
está em
.
Passo 3
Vou calcular o produto escalar
. Para vetores
e
vale
Aplicando a
e
:
Passo 4
Agora calculo
, que é a soma dos quadrados das componentes de
:
Passo 5
Substituo na fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar
por
obtemos
Passo 6
Verificação rápida (importante para a prova): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculo essa diferença:
O produto escalar com
é
logo a diferença é mesmo ortogonal a
, confirmação de que a projeção está correta. Bom trabalho — já sabe checar a resposta na prova!