Determine a projeção ortogonal do vetor \vec{a}=(3,4,-5) sobre \vec{b}=(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço: \vec{a}=(3,4,-5) e \vec{b}=(1,2,-1). A pergunta é: determinar a projeção ortogonal de \vec{a} sobre \vec{b}.
Vou listar claramente o que se pede e o que já tenho:
  • Pedem \operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}, isto é, o vetor resultado da projeção ortogonal de \vec{a} na direção de \vec{b}.
  • Dados: \vec{a}=(3,4,-5) e \vec{b}=(1,2,-1).

Passo 2

O conceito-chave: a projeção ortogonal de \vec{a} sobre \vec{b} é o vetor paralelo a \vec{b} que representa a “sombra” de \vec{a} na direção de \vec{b}. A fórmula padrão (que vou justificar e usar) é
\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto interno (ou produto escalar) entre \vec{a} e \vec{b}, e \vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^2 é o quadrado da norma de \vec{b}. A razão \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}} é um escalar que dá o quanto de \vec{b} está em \vec{a}.

Passo 3

Vou calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}. Para vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aplicando a \vec{a} e \vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot1+4\cdot2+(-5)\cdot(-1)=3+8+5=16.

Passo 4

Agora calculo \vec{b}\cdot\vec{b}, que é a soma dos quadrados das componentes de \vec{b}:
\vec{b}\cdot\vec{b}=1^2+2^2+(-1)^2=1+4+1=6.

Passo 5

Substituo na fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}=\frac{16}{6}\,\vec{b}=\frac{8}{3}\,\vec{b}.
Multiplicando o escalar \dfrac{8}{3} por \vec{b}=(1,2,-1) obtemos
\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{8}{3},\frac{16}{3},-\frac{8}{3}\right).

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): a diferença \vec{a}-\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} deve ser ortogonal a \vec{b}. Calculo essa diferença:
\vec{a}-\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(3-\frac{8}{3},\,4-\frac{16}{3},\,-5+\frac{8}{3}\right)=\left(\frac{1}{3},-\frac{4}{3},-\frac{7}{3}\right).
O produto escalar com \vec{b} é
\left(\frac{1}{3}\right)\cdot1+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot2+\left(-\frac{7}{3}\right)\cdot(-1)=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}+\frac{7}{3}=0,
logo a diferença é mesmo ortogonal a \vec{b}, confirmação de que a projeção está correta. Bom trabalho — já sabe checar a resposta na prova!

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{8}{3},\frac{16}{3},-\frac{8}{3}\right)

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