Considere o conjunto de vetores X=\{(1,-1,1),(2,1,-3),(0,-1,1)\}.
a) Prove que o conjunto X é linearmente independente e uma base de \mathbb{R}^{3}. b) Os três pontos (1,-1,1),(2,1,-3) e ( 0,-1,1 ) definem um plano em \mathbb{R}^{3}. Qual é a equação deste plano?
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de vetores \{(1,-1,1),(2,1,-3),(0,-1,1)\}\subset\mathbb{R}^3
e pede:
a) provar que esse conjunto é linearmente independente e, portanto, forma uma base de \mathbb{R}^3;
b) determinar a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,-1,1), B=(2,1,-3) e C=(0,-1,1).
Para (a) usaremos o teste de independência via combinação linear nula e o fato de que três vetores independentes em \mathbb{R}^3 formam base. Para (b) usaremos vetores direção e produto vetorial para achar o vetor normal e, em seguida, a equação do plano.
Assim c_1 = c_3 = 0, mostrando que só a combinação trivial resolve o sistema. Logo, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Como temos três vetores em \mathbb{R}^3 e acabamos de provar que são linearmente independentes, eles geram todo \mathbb{R}^3 e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano que passa por A, B e C, calculamos dois vetores direção:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2,1,-3) - (1,-1,1) = (1,2,-4),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0,-1,1) - (1,-1,1) = (-1,0,0).
O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado por