Considere o conjunto de vetores X=\{(1,-1,1),(2,1,-3),(0,-1,1)\}.
a) Prove que o conjunto X é linearmente independente e uma base de \mathbb{R}^{3}. b) Os três pontos (1,-1,1),(2,1,-3) e ( 0,-1,1 ) definem um plano em \mathbb{R}^{3}. Qual é a equação deste plano?

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de vetores
\{(1,-1,1),(2,1,-3),(0,-1,1)\}\subset\mathbb{R}^3
e pede:
a) provar que esse conjunto é linearmente independente e, portanto, forma uma base de \mathbb{R}^3;
b) determinar a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,-1,1), B=(2,1,-3) e C=(0,-1,1).
Para (a) usaremos o teste de independência via combinação linear nula e o fato de que três vetores independentes em \mathbb{R}^3 formam base. Para (b) usaremos vetores direção e produto vetorial para achar o vetor normal e, em seguida, a equação do plano.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula
c_1(1,-1,1) + c_2(2,1,-3) + c_3(0,-1,1) = (0,0,0),
o que gera o sistema
\begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0,\\\\ -\,c_1 + c_2 - c_3 = 0,\\\ c_1 - 3c_2 + c_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue c_1 = -2c_2. Substituindo nas duas seguintes obtemos c_3=3c_2 e então, na última,
-2c_2 -3c_2 +3c_2 = -2c_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = 0.
Assim c_1 = c_3 = 0, mostrando que só a combinação trivial resolve o sistema. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como temos três vetores em \mathbb{R}^3 e acabamos de provar que são linearmente independentes, eles geram todo \mathbb{R}^3 e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano que passa por A, B e C, calculamos dois vetores direção:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2,1,-3) - (1,-1,1) = (1,2,-4),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0,-1,1) - (1,-1,1) = (-1,0,0).
O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado por
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0,4,2).

Passo 5

A equação do plano com normal (0,4,2) que passa por A=(1,-1,1) vem de
0\,(x-1) + 4\,(y+1) + 2\,(z-1) = 0.
Expandindo e simplificando,
4y + 4 + 2z - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y + z + 1 = 0.

Resposta

a) Os vetores são linearmente independentes e, como são três em \mathbb{R}^3, formam uma base de \mathbb{R}^3.
b) A equação do plano é
2y + z + 1 = 0.

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