Calcule o volume do paralelogramo gerado pelos vetores u=(2,-1,4) e v=(1,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do paralelogramo gerado pelos vetores u = (2, -1, 4) e v = (1, 3, 2). Isso está ligado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre vetores e como calcular o volume ou a área que eles formam. Para resolver, vamos precisar usar o produto vetorial e a fórmula de magnitude desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores u e v. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões é dado por:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 4 1 & 3 & 2

Passo 3

Resolvendo o determinante, temos:
u times v = i((-1)(2) - (4)(3)) - j((2)(2) - (4)(1)) + k((2)(3) - (-1)(1))
= i(-2 - 12) - j(4 - 4) + k(6 + 1)
= i(-14) - j(0) + k(7)
= (-14, 0, 7)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-14)^2 + 0^2 + 7^2 = raiz196 + 0 + 49 = raiz245
= raiz49 times 5 = 7raiz5

Resposta

O volume do paralelogramo gerado pelos vetores u e v é 7raiz5 unidades cúbicas.

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