Sejam
e
subconjuntos finitos de
tais que
, com
. Se
é linearmente independente, então:
pode ser linearmente dependente? Dê um exemplo em caso afirmativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos
e
que são subconjuntos finitos de
. Sabemos que
está dentro de
(ou seja,
) e que
é diferente de
. Além disso,
é linearmente independente. A pergunta é: será que
pode ser linearmente dependente? Se puder, dá um exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor nulo, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, não dá para escrever um vetor como uma combinação dos outros.
Passo 3
Agora, se
é linearmente independente, qualquer subconjunto dele também deve ser linearmente independente. Isso porque, se tentarmos ter uma combinação linear que dá zero em um subconjunto, essa combinação também funcionaria no conjunto maior
, o que não pode acontecer já que
é independente.
Passo 4
Portanto, não existe um subconjunto
de
que seja linearmente dependente se
for linearmente independente. Não importa qual subconjunto você escolha, desde que ele seja parte de
, ele manterá a propriedade de independência linear.
Resposta
Não,
não pode ser linearmente dependente se
for linearmente independente.