Sejam S1 e S2 subconjuntos finitos de R^n tais que S1 subset S2, com S1 neq S2. Se S2 é linearmente independente, então:
S1 pode ser linearmente dependente? Dê um exemplo em caso afirmativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos S1 e S2 que são subconjuntos finitos de R^n . Sabemos que S1 está dentro de S2 (ou seja, S1 subset S2 ) e que S1 é diferente de S2 . Além disso, S2 é linearmente independente. A pergunta é: será que S1 pode ser linearmente dependente? Se puder, dá um exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor nulo, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, não dá para escrever um vetor como uma combinação dos outros.

Passo 3

Agora, se S2 é linearmente independente, qualquer subconjunto dele também deve ser linearmente independente. Isso porque, se tentarmos ter uma combinação linear que dá zero em um subconjunto, essa combinação também funcionaria no conjunto maior S2 , o que não pode acontecer já que S2 é independente.

Passo 4

Portanto, não existe um subconjunto S1 de S2 que seja linearmente dependente se S2 for linearmente independente. Não importa qual subconjunto você escolha, desde que ele seja parte de S2 , ele manterá a propriedade de independência linear.

Resposta

Não, S1 não pode ser linearmente dependente se S2 for linearmente independente.

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