Sejam A, B subset R subconjuntos não-vazios e limitados superiormente. Prove
sup (A+B)=sup A+sup B
onde
A+B=a+b ; a in A, b in B

Passo 1

Vamos lá! Neste exercício, precisamos provar que o supremo do conjunto A + B é igual à soma dos supremos de A e B . Estamos lidando com subconjuntos não-vazios e limitados superiormente de R . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de supremo (ou menor limite superior) e entender como ele se comporta quando somamos elementos de dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo de um conjunto S subset R , denotado por sup S , é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de S .

Passo 3

Agora, vamos considerar os supremos de A e B . Seja alpha = sup A e beta = sup B . Isso significa que:
  1. Para todo a in A , a <= alpha .
  2. Para todo b in B , b <= beta .

Passo 4

Vamos analisar o conjunto A + B = a + b mid a in A, b in B . Queremos encontrar o supremo deste conjunto, ou seja, sup (A + B) .

Passo 5

Primeiro, vamos mostrar que alpha + beta é um limite superior para A + B . Para qualquer a in A e b in B , temos:
a + b <= alpha + beta
Isso ocorre porque a <= alpha e b <= beta , então somando essas desigualdades, mantemos a relação.

Passo 6

Como alpha + beta é um limite superior para A + B , o supremo de A + B não pode ser maior que alpha + beta . Portanto:
sup (A + B) <= alpha + beta

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que alpha + beta é o menor limite superior. Para isso, vamos mostrar que, para qualquer epsilon > 0 , existe um elemento em A + B que é maior que alpha + beta - epsilon .

Passo 8

Como alpha = sup A , existe um a' in A tal que alpha - epsilon2 < a' <= alpha . Da mesma forma, como beta = sup B , existe um b' in B tal que beta - epsilon2 < b' <= beta .

Passo 9

Considerando a' e b' , temos:
a' + b' > ( alpha - epsilon2 ) + ( beta - epsilon2 ) = alpha + beta - epsilon
Isso mostra que existe um elemento em A + B que é maior que alpha + beta - epsilon para qualquer epsilon > 0 .

Passo 10

Portanto, o menor limite superior de A + B não pode ser menor que alpha + beta . Assim, concluímos que:
sup (A + B) >= alpha + beta

Resposta

Combinando os resultados dos passos anteriores, concluímos que:
sup (A + B) = sup A + sup B

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