Sejam
subconjuntos não-vazios e limitados superiormente. Prove
onde
Passo 1
Vamos lá! Neste exercício, precisamos provar que o supremo do conjunto
é igual à soma dos supremos de
e
. Estamos lidando com subconjuntos não-vazios e limitados superiormente de
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de supremo (ou menor limite superior) e entender como ele se comporta quando somamos elementos de dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo de um conjunto
, denotado por
, é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar os supremos de
e
. Seja
e
. Isso significa que:
- Para todo
, . - Para todo
, .
Passo 4
Vamos analisar o conjunto
. Queremos encontrar o supremo deste conjunto, ou seja,
.
Passo 5
Primeiro, vamos mostrar que
é um limite superior para
. Para qualquer
e
, temos:
Isso ocorre porque
e
, então somando essas desigualdades, mantemos a relação.
Passo 6
Como
é um limite superior para
, o supremo de
não pode ser maior que
. Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos mostrar que
é o menor limite superior. Para isso, vamos mostrar que, para qualquer
, existe um elemento em
que é maior que
.
Passo 8
Como
, existe um
tal que
. Da mesma forma, como
, existe um
tal que
.
Passo 9
Considerando
e
, temos:
Isso mostra que existe um elemento em
que é maior que
para qualquer
.
Passo 10
Portanto, o menor limite superior de
não pode ser menor que
. Assim, concluímos que:
Resposta
Combinando os resultados dos passos anteriores, concluímos que: