Usando a definição de limite de sequências, prove
lim n infty nn+1=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o limite da sequência nn+1 quando n tende ao infinito é igual a 1. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição de limite de uma sequência, que basicamente diz que pra qualquer número bem pequeno epsilon , a partir de certo ponto na sequência, todos os termos estarão dentro dessa margem de erro em relação ao limite que queremos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos provar. Queremos mostrar que:
limn infty nn+1 = 1
Isso significa que, quanto maior for o valor de n , mais próximo nn+1 estará de 1.

Passo 3

Segundo a definição de limite, para provar que o limite é 1, precisamos mostrar que para qualquer epsilon > 0 , existe um número natural N tal que para todo n >= N :
| nn+1 - 1 | < epsilon

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| nn+1 - 1 | = | n - (n+1)n+1 | = | -1n+1 | = 1n+1
Então, queremos que:
1n+1 < epsilon

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação para encontrar N :
1n+1 < epsilon Rightarrow n+1 > 1epsilon Rightarrow n > 1epsilon - 1
Então, se escolhermos:
N > 1epsilon - 1
garantimos que para todo n >= N , a condição 1n+1 < epsilon será satisfeita.

Passo 6

Portanto, para qualquer epsilon > 0 , podemos escolher:
N = lceil 1epsilon rceil
onde lceil cdot rceil representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, a condição 1n+1 < epsilon será verdadeira para todo n >= N .

Resposta

Com base na definição de limite de sequências, provamos que:
limn infty nn+1 = 1

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