Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a 1. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição de limite de uma sequência, que basicamente diz que pra qualquer número bem pequeno , a partir de certo ponto na sequência, todos os termos estarão dentro dessa margem de erro em relação ao limite que queremos provar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos provar. Queremos mostrar que:
Isso significa que, quanto maior for o valor de , mais próximo estará de 1.
Passo 3
Segundo a definição de limite, para provar que o limite é 1, precisamos mostrar que para qualquer , existe um número natural tal que para todo :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
garantimos que para todo n >= N , a condição 1n+1 < epsilon será satisfeita.
Passo 6
Portanto, para qualquer epsilon > 0 , podemos escolher:
N = lceil 1epsilon rceil
onde lceil cdot rceil representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro. Assim, a condição 1n+1 < epsilon será verdadeira para todo n >= N .
Resposta
Com base na definição de limite de sequências, provamos que: