Sejam
um conjunto infinito e
um conjunto finito. Prove que a diferença
é um conjunto infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos um conjunto infinito
e um subconjunto finito
de
, então a diferença
também é um conjunto infinito. A gente vai usar conceitos de conjuntos finitos e infinitos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser finito ou infinito. Um conjunto finito tem um número limitado de elementos, tipo
nesse caso. Já um conjunto infinito tem elementos sem limite, como
.
Passo 3
A diferença de conjuntos
significa todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Então, estamos basicamente removendo um número finito de elementos de um conjunto infinito.
Passo 4
Agora, vamos pensar assim: se você tem um conjunto infinito e tira um número finito de elementos dele, você ainda deve ter infinitos elementos sobrando. Isso porque infinito menos qualquer número finito continua sendo infinito.
Passo 5
Para formalizar, suponha que
fosse finito. Então,
seria a união de dois conjuntos finitos (
e
), o que daria um conjunto finito. Mas isso entra em contradição com a informação de que
é infinito.
Passo 6
Como nossa suposição levou a uma contradição, concluímos que
não pode ser finito. Portanto,
é um conjunto infinito.
Resposta
A diferença
é um conjunto infinito.