Sejam X um conjunto infinito e Y subset X um conjunto finito. Prove que a diferença X backslash Y é um conjunto infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos um conjunto infinito X e um subconjunto finito Y de X , então a diferença X backslash Y também é um conjunto infinito. A gente vai usar conceitos de conjuntos finitos e infinitos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser finito ou infinito. Um conjunto finito tem um número limitado de elementos, tipo Y nesse caso. Já um conjunto infinito tem elementos sem limite, como X .

Passo 3

A diferença de conjuntos X backslash Y significa todos os elementos que estão em X mas não estão em Y . Então, estamos basicamente removendo um número finito de elementos de um conjunto infinito.

Passo 4

Agora, vamos pensar assim: se você tem um conjunto infinito e tira um número finito de elementos dele, você ainda deve ter infinitos elementos sobrando. Isso porque infinito menos qualquer número finito continua sendo infinito.

Passo 5

Para formalizar, suponha que X backslash Y fosse finito. Então, X seria a união de dois conjuntos finitos ( X backslash Y e Y ), o que daria um conjunto finito. Mas isso entra em contradição com a informação de que X é infinito.

Passo 6

Como nossa suposição levou a uma contradição, concluímos que X backslash Y não pode ser finito. Portanto, X backslash Y é um conjunto infinito.

Resposta

A diferença X backslash Y é um conjunto infinito.

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