Calcule o volume da parte do sólido limitado pelas superfícies z=4 e z=x^2+y^2 e que seja exterior ao cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que fica entre a superfície inferior ;z = x^2 + y^2; (um paraboloide) e a superfície superior ;z = 4;, e que está fora do cilindro ;x^2 + y^2 = 1.
Conteúdo: uso de coordenadas cilíndricas para avaliação de volume em regiões com simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
e x^2+y^2 = r^2. A interseção entre o plano z=4 e o paraboloide z=r^2 r^2=4, ou seja r=2. O cilindro exterior é r=1. Logo,
1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi, r^2 <= z <= 4

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r,dz,dr,dtheta. Assim o volume é
V = integraltheta=0^2piintegralr=1^2integralz=r^2^4 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralz=r^2^4 r,dz = rl[zr]z=r^2^4 = r(4 - r^2)
Então
V = integral0^2piintegral1^2 r,(4 - r^2),dr,dtheta

Passo 5

Integramos em r:
integral1^2(4r - r^3),dr =l[2r^2 - tfracr^44r]1^2 =l(2cdot4 - tfrac164r)-l(2cdot1 - tfrac14r) =(8-4)-(2-0,25)=4-1,75=2,25
Logo
V = integral0^2pi2,25,dtheta =2,25cdot2pi =4,5,pi

Resposta

V = 9pi2

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