Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies:
z=4-x^2, x=0, y=0, z=0 e 3 x+4 y=12.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por
z pela superfície ,z=4 - x^2,
pelos planos ,z=0, ,x=0, ,y=0 e
pela reta ,3x+4y=12 no plano z=0.
Para resolver vamos usar uma integral tripla e o Teorema de Fubini, projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

Precisamos achar a projeção D desse sólido no plano xy.
As restrições são
,x>=0, ,y>=0, ,3x+4y<=12 (triângulo no primeiro quadrante)
e ainda ,z>=0 implica
4 - x^2 >= 0
ou seja
-2 <= x <= 2
Como já temos x>=0, ficamos com
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 12 - 3x4

Passo 3

Montamos a integral tripla para o volume V:
V = integralx=0^2 integraly=0^tfrac12-3x4 integralz=0^4 - x^2 dz ,dy ,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z, o que dá
integral0^4 - x^2 dz = 4 - x^2
Assim
V = integral0^2 integral0^tfrac12-3x4 (4 - x^2),dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^tfrac12-3x4 (4 - x^2),dy = (4 - x^2),12 - 3x4
Logo
V = integral0^2 (4 - x^2)(12 - 3x)4 ,dx = integral0^2 l(12 - 3x - 3x^2 + tfrac34x^3r) ,dx,
pois
(4 - x^2)(12 - 3x)4 = 12 - 3x - 3x^2 + 34x^3

Passo 6

Integramos em x:
integral0^2 l(12 - 3x - 3x^2 + tfrac34x^3r) ,dx = l[12x - tfrac32x^2 - x^3 + tfrac316x^4r]0^2 = 24 - 6 - 8 + 3 = 13

Resposta

V = 13

Exercícios relacionados