Seja i1, i2, i3 uma base ortonormal orientada segundo a regra da mão direita. Considere os vetores
a=i1+2 i2+3 i3, b=4 i1+5 i2, c=3 i1+2 i2+i3
Verifique que formam uma base.

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Temos uma base ortonormal orientada i1,i2,i3 e os vetores
a=i1+2i2+3i3, b=4i1+5i2, c=3i1+2i2+i3
Queremos mostrar que a,b,c é uma base, isto é, que os vetores são linearmente independentes. Uma forma direta é calcular o produto misto (ou determinante da matriz formada pelas coordenadas de a,b,c).

Passo 2

Matriz de coordenadas e cálculo do determinante: Escrevendo as coordenadas de a,b,c em relação à base i1,i2,i3, montamos a matriz
M= 1 & 4 & 3 2 & 5 & 2 3 & 0 & 1
O produto misto é dado por det M. Usando a expansão de Laplace na primeira linha, temos
det M = 1cdot(5cdot1 - 2cdot0) -4cdot(2cdot1 - 2cdot3) +3cdot(2cdot0 - 5cdot3)
Fazendo as contas:
det M = 1cdot5 -4cdot(2-6) +3cdot(-15) =5 -4cdot(-4) -45 =5 +16 -45 =-24

Passo 3

Conclusão a partir do determinante: Como o determinante é diferente de zero ( -24neq0), os vetores a,b,c são linearmente independentes. Vetores que são linearmente independentes em R^3 formam uma base do espaço.

Resposta

O determinante é -24neq0, logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base de R^3.

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