Seja uma base ortonormal orientada segundo a regra da mão direita. Considere os vetores
Verifique que formam uma base.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Temos uma base ortonormal orientada e os vetores
Queremos mostrar que é uma base, isto é, que os vetores são linearmente independentes. Uma forma direta é calcular o produto misto (ou determinante da matriz formada pelas coordenadas de ).
Passo 2
Matriz de coordenadas e cálculo do determinante: Escrevendo as coordenadas de em relação à base , montamos a matriz
O produto misto é dado por det M. Usando a expansão de Laplace na primeira linha, temos
det M = 1cdot(5cdot1 - 2cdot0) -4cdot(2cdot1 - 2cdot3) +3cdot(2cdot0 - 5cdot3)
Fazendo as contas:
det M = 1cdot5 -4cdot(2-6) +3cdot(-15) =5 -4cdot(-4) -45 =5 +16 -45 =-24
Passo 3
Conclusão a partir do determinante: Como o determinante é diferente de zero (-24neq0), os vetores a,b,c são linearmente independentes. Vetores que são linearmente independentes em R^3 formam uma base do espaço.
Resposta
O determinante é -24neq0, logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base de R^3.