Seja uma base ortonormal orientada segundo a regra da mão direita. Considere os vetores
Qual o volume do paralelepípedo gerado por e ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e , que estão definidos na base ortonormal . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores , e em forma de coluna para montar a matriz:
Aqui, note que para b, o componente na direção i3 é zero, já que não foi mencionado no enunciado.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz quadrada M com esses vetores como colunas:
M = 1 & 4 & 3 2 & 5 & 2 3 & 0 & 1
Passo 4
O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do determinante dessa matriz. Então, precisamos calcular det(M).
Passo 5
Vamos calcular o determinante de M usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui: