Seja i1, i2, i3 uma base ortonormal orientada segundo a regra da mão direita. Considere os vetores
a=i1+2 i2+3 i3, b=4 i1+5 i2, c=3 i1+2 i2+i3
Qual o volume do paralelepípedo gerado por a, b e c?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c, que estão definidos na base ortonormal i1, i2, i3. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores a, b e c em forma de coluna para montar a matriz:
a = 1 2 3 , b = 4 5 0 , c = 3 2 1
Aqui, note que para b, o componente na direção i3 é zero, já que não foi mencionado no enunciado.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz quadrada M com esses vetores como colunas:
M = 1 & 4 & 3 2 & 5 & 2 3 & 0 & 1

Passo 4

O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do determinante dessa matriz. Então, precisamos calcular det(M).

Passo 5

Vamos calcular o determinante de M usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(M) = 1 cdot 5 cdot 1 + 4 cdot 2 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 0 - 3 cdot 5 cdot 3 - 4 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 0
Vamos calcular cada termo:
  • 1 cdot 5 cdot 1 = 5
  • 4 cdot 2 cdot 3 = 24
  • 3 cdot 2 cdot 0 = 0
  • 3 cdot 5 cdot 3 = 45
  • 4 cdot 2 cdot 1 = 8
  • 1 cdot 2 cdot 0 = 0
Agora, somamos os primeiros três e subtraímos os últimos três:
det(M) = (5 + 24 + 0) - (45 + 8 + 0) = 29 - 53 = -24

Passo 6

O volume é o valor absoluto desse determinante, então:
Volume = |det(M)| = |-24| = 24

Resposta

O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores a, b e c é 24 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados