Calcule o volume de uma piramide com vértice na origem e com a base triang<= A B C com A=(1,1,-1), B=(1,-1,1) e C=(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide com vértice na origem e base no triângulo cujos vértices são A=(1,1,-1), B=(1,-1,1) e C=(1,2,-1). O conteúdo aqui é geometria analítica, mais especificamente o cálculo de volume de um tetraedro usando o produto misto (determinante) de vetores.

Passo 2

Vamos representar os vetores que vão da origem até os vértices da base: OA=A=(1,1,-1), OB=B=(1,-1,1) e OC=C=(1,2,-1).

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante (produto misto). Fazendo a expansão por cofactores:
det1 & 1 & 11 & -1 & 2-1 & 1 & -1 =1cdot((-1)cdot(-1)-1cdot2)-1cdot(1cdot(-1)-1cdot1)-1cdot(1cdot2-(-1)cdot1) =-1+2-3=-2
O valor absoluto é |det|=2.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do volume do tetraedro (pirâmide com 4 vértices): V=16,|det(OA,OB,OC)|=16times2=13

Resposta

13

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