Sejam u=(1,1,-1) e v=(2,1,2). Encontre w de norma dois, ortogonal comum a u e v tal que (u, v, w) seja uma base negativa.

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar um vetor vec w de norma 2, perpendicular aos vetores vec u=(1,1,-1) e vec v=(2,1,2), de forma que o tripé (vec u,vec v,vec w) tenha orientação negativa. O conteúdo principal envolve produto vetorial, norma de vetor e orientação de base em R^3.

Passo 2

Para achar um vetor perpendicular a vec u e vec v, usamos o produto vetorial. Calculando
vec utimesvec v= i&j&k 1&1&-1 2&1&2 = (1cdot2 - (-1)cdot1,,-(1cdot2 - (-1)cdot2),,1cdot1 - 1cdot2) = (3,-4,-1)

Passo 3

Esse vetor (3,-4,-1) já é ortogonal a vec u e vec v, mas sua norma é raiz26, não 2. Para normalizar a norma até 2, primeiro fazemos o versor
vec utimesvec v|vec utimesvec v| = 1raiz26(3,-4,-1)
e depois multiplicamos por 2:
vec w0 = 2raiz26(3,-4,-1)

Passo 4

Agora precisamos garantir que a base (vec u,vec v,vec w) seja negati
va. Sabe-se que (vec u,vec v,vec utimesvec v) forma uma base positiva. Logo, para inverter a orientação, basta trocar o sinal de vec w0. Assim:
vec w = -vec w0 = -2raiz26(3,-4,-1) = 1raiz26(-6,8,2)

Passo 5

Esse vec w tem norma 2, é ortogonal a vec u e vec v, e inverte a orientação, tornando (vec u,vec v,vec w) uma base negativa.

Resposta

vec w = 1raiz26(-6,8,2)

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