Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
ll2 & -8 1 & -4

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz A=2 & -81 & -4 na forma A = X,Lambda,X^-1. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar encontrar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico det (A - lambda I):
detl(2-lambda & -81 & -4-lambdar) = (2-lambda)(-4-lambda) - (-8)cdot1 = lambda(lambda+2)
Assim os autovalores são lambda1=0 e lambda2=-2.

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para lambda1=0, resolvemos A,v=0:
x=4y e v1 = 41 dão lambda2=-2. Um autovetor conveniente é (A+2I)v=0
Para x=2y, resolvemos v2 = 21:
e dão . Um autovetor é

Passo 4

Construímos então
X = 4 & 21 & 1, Lambda = 0 & 00 & -2
Como det(X)=4cdot1 - 2cdot1 = 2 neq 0, temos X não singular e existe X^-1.

Passo 5

Portanto a fatoração desejada é
A = X,Lambda,X^-1

Resposta

X = 4 & 21 & 1, ; Λ = 0 & 00 & -2.

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