Calcule o volume da região delimitada pelas curvas y=ln (x), y=0 e x=2 em torno do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do primeiro quadrante limitada por:
– a curva y=ln(x),
– a reta y=0,
– a reta x=2.
O conteúdo envolve volumes por método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Precisamos encontrar os limites em x. A curva y=ln(x) intercepta y=0 quando ln(x)=0, isto é, x=1. Logo a região é
1<= x<= 2, 0<= y<= ln(x)

Passo 3

Como o eixo de rotação é o eixo y e a nossa região é mais fácil de descrever em função de x, usamos cascas cilíndricas.
Cada casca, em x, tem:
– raio =;x,
– altura =;ln(x)-0=ln(x),
– espessura =;dx.
O volume de cada casca é 2pi,(raio),(a<ura),dx = 2pi,x,ln(x),dx.

Passo 4

Montamos a integral do volume:
V ;=; integralx=1^2 2pi,x,ln(x),dx

Passo 5

Para calcular
integral x,ln(x),dx
fazemos integração por partes:
escolha u=ln(x), dv=x,dx, então du=tfrac1xdx e v=tfracx^22.
Logo,
integral x,ln(x),dx = x^22,ln(x) - integral x^22cdot1x,dx = x^22,ln(x) - integral x2,dx = x^22,ln(x) - x^24 + C
Multiplicando por 2pi, temos a antiderivada do integrando:
2piintegral x,ln(x),dx =2pil(x^22ln(x)-x^24r)

Passo 6

Avaliaremos de 1 a 2:
l[;2pil(tfracx^22ln(x)-tfracx^24r)r]1^2 =2pil[l(2ln(2)-1r)-l(0-tfrac14r)r] =2pil(2ln(2)-1+tfrac14r) =2pil(2ln(2)-tfrac34r)

Resposta

V = 2pil(2ln(2)-tfrac34r) =4piln(2)-3pi2

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