Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(l) integral e^3 x cos (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral e^3xcos(x),dx
usando a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Para resolver essa integral, vamos aplicá-la duas vezes e depois resolver uma equação para a própria integral.

Passo 2

Denotemos
I = integral e^3xcos(x),dx
Aplicando partes com
u = e^3x, dv = cos(x),dx,
temos
du = 3e^3x,dx, v = sin(x),
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I = e^3xsin(x) - integral 3e^3xsin(x),dx = e^3xsin(x) - 3underbraceintegral e^3xsin(x),dxJ

Passo 3

Agora definimos
J = integral e^3xsin(x),dx
e aplicamos partes em J com
u = e^3x, dv = sin(x),dx,
de modo que
du = 3e^3x,dx, v = -cos(x)
Isso dá
J = -e^3xcos(x) - integral (-cos(x))cdot 3e^3x,dx = -e^3xcos(x) + 3integral e^3xcos(x),dx = -e^3xcos(x) + 3I

Passo 4

Voltando à expressão de I, substituímos J:
I = e^3xsin(x) - 3J = e^3xsin(x) - 3l(-e^3xcos(x) + 3Ir) = e^3xsin(x) + 3e^3xcos(x) - 9I
Reorganizando para isolar I:
I + 9I = 10I = e^3xl(sin(x)+3cos(x)r),
então
I = e^3x10l(sin(x)+3cos(x)r) + C

Resposta

integral e^3xcos(x),dx = e^3x10l(sin(x)+3cos(x)r) + C

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