Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo.
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando substituição trigonométrica. Vamos aproveitar que a expressão dentro da raiz está no formato
, o que sugere a substituição para funções secante ou cosseno hiperbólico. Aqui usaremos a substituição trigonométrica clássica para
:
Passo 2
Fazemos a troca
Com isso, temos
onde assumimos
num intervalo que torne
quando
.
Passo 3
Calculamos também o diferencial
:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Simplificando cada fator:
logo o integrando vira
Portanto
Passo 5
Usamos a identidade
e integramos:
Passo 6
Retornamos a variável
. Da substituição
temos
e
Assim