Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo.
(c) integral raiz4 x^2-25x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz4x^2-25x,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos aproveitar que a expressão dentro da raiz está no formato (2x)^2-5^2, o que sugere a substituição para funções secante ou cosseno hiperbólico. Aqui usaremos a substituição trigonométrica clássica para raizu^2-a^2:
u = asectheta

Passo 2

Fazemos a troca
2x = 5sectheta Longrightarrow x = 52sectheta
Com isso, temos
raiz4x^2-25 = raiz(2x)^2-5^2 = raiz25sec^2theta-25 =5raizsec^2theta-1 =5tantheta,
onde assumimos theta num intervalo que torne tantheta>=0 quando x>=52.

Passo 3

Calculamos também o diferencial dx:
dx = 52,ddtheta(sectheta),dtheta = 52secthetatantheta,dtheta

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral raiz4x^2-25x,dx = integral 5tanthetatfrac52sectheta ;times;52secthetatantheta,dtheta
Simplificando cada fator:
5tanthetatfrac52sectheta =2tanthetacostheta =2sintheta e dx=52secthetatantheta,dtheta,
logo o integrando vira
2sintheta;times;52secthetatantheta =5,sinthetasecthetatantheta =5,sin^2thetacos^2theta =5tan^2theta
Portanto
integral raiz4x^2-25x,dx =5integral tan^2theta,dtheta

Passo 5

Usamos a identidade tan^2theta=sec^2theta-1 e integramos:
5integral tan^2theta,dtheta =5integral (sec^2theta-1),dtheta =5l(tantheta-thetar)+C

Passo 6

Retornamos a variável . Da substituição temos
e
Assim

Resposta

integral raiz4x^2-25x,dx =raiz4x^2-25 -5arccos!l(tfrac52xr) + C

Exercícios relacionados