TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A integral integral^2 pi integral^2 integral^2 d z d r d theta
l integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 d z d r d theta representa o volume delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e
pelo plano z=2.

Passo 1

O enunciado quer o volume do sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2. Para descrever esse sólido em coordenadas cilíndricas, usamos (r,theta,z) com
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z

Passo 2

Em cilíndricas, a superfície do cone é z=r. A interseção com o plano z=2 ocorre quando r=2. Logo os limites são
0<=theta<=2pi, 0<= r<=2, r<= z<=2

Passo 3

Para calcular volume em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
dV = r,dz,dr,dtheta
Portanto o volume procurado é
V=integral0^2piintegral0^2integralr^2r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Se a gente ignorar o fator r e fizer
I = integral0^2piintegral0^2integralr^2dz,dr,dtheta
então
I = 2piintegral0^2(2 - r),dr =2pil[2r - tfracr^22r]0^2 =2pi,(4 - 2) =4pi
Mas o volume correto é
V = 2piintegral0^2r,(2 - r),dr =2pil[tfrac2r^22-tfracr^33r]0^2 =2pi,(2 - tfrac83) =tfrac8pi3
Como Ineq V, o integral sem o fator r não representa o volume.

Resposta

A afirmação é falsa, pois em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta, e sem o r a integral não dá o volume correto.

Exercícios relacionados