Seja
um grupo e
. Mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
Temos um grupo
e um elemento
. Definimos o conjunto
, que é o chamado centralizador de
. Para mostrar que
é subgrupo, vamos usar o critério clássico: verificar que ele contém o elemento neutro, é fechado pela operação
e é fechado por inverso. Vamos precisar da associatividade em
e da existência de neutro e inversos.
Passo 2
O elemento neutro
de
satisfaz
Logo
, ou seja,
.
Passo 3
Sejam
. Então
e
$$
y \otimes a = a \otimes y.
(x\otimes y)\otimes a = x\otimes(y\otimes a) = x\otimes(a\otimes y) = (x\otimes a)\otimes y = (a\otimes x)\otimes y = a\otimes(x\otimes y).
$$
Assim comuta com
, ou seja,
.
Assim
Passo 4
Seja
, ou seja,
. Multiplicando à esquerda por
e à direita por
e usando associatividade, obtemos
Reagrupando,
Como
e
, segue
logo
.
Passo 5
Demonstramos que
contém o neutro, é fechado pela operação e fechado por inverso. Portanto, pelo critério de subgrupo,
é de fato um subgrupo de
.