Seja (G, otimes) um grupo e a in G. Mostre que N(a)=x in G mid x otimes a=a otimes x é um subgrupo de G.

Passo 1

Temos um grupo (G,otimes) e um elemento ain G. Definimos o conjunto N(a)=xin Gmid xotimes a=aotimes x, que é o chamado centralizador de a. Para mostrar que N(a) é subgrupo, vamos usar o critério clássico: verificar que ele contém o elemento neutro, é fechado pela operação otimes e é fechado por inverso. Vamos precisar da associatividade em G e da existência de neutro e inversos.

Passo 2

O elemento neutro e de G satisfaz
e otimes a = a e a otimes e = a
Logo eotimes a = aotimes e, ou seja, ein N(a).

Passo 3

Sejam x,yin N(a). Então
x otimes a = a otimes x
e
$$
y \otimes a = a \otimes y. y otimes a = a otimes y
(x\otimes y)\otimes a = x\otimes(y\otimes a) = x\otimes(a\otimes y) = (x\otimes a)\otimes y = (a\otimes x)\otimes y = a\otimes(x\otimes y).
$$
Assim (xotimes y)otimes a = xotimes(yotimes a) = xotimes(aotimes y) = (xotimes a)otimes y = (aotimes x)otimes y = aotimes(xotimes y) comuta com xotimes y, ou seja, a.

Passo 4

Seja xin N(a), ou seja, xotimes a = aotimes x. Multiplicando à esquerda por x^-1 e à direita por x^-1 e usando associatividade, obtemos
x^-1otimes(xotimes a)otimes x^-1 = x^-1otimes(aotimes x)otimes x^-1
Reagrupando,
(x^-1otimes x)otimes(aotimes x^-1) = (x^-1otimes a)otimes(xotimes x^-1)
Como x^-1otimes x = e e xotimes x^-1=e, segue
aotimes x^-1 = x^-1otimes a,
logo x^-1in N(a).

Passo 5

Demonstramos que N(a) contém o neutro, é fechado pela operação e fechado por inverso. Portanto, pelo critério de subgrupo, N(a) é de fato um subgrupo de G.

Resposta

N(a) é um subgrupo de G.

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