Calcule o volume da região delimitada pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=9.

Passo 1

Aqui a gente quer calcular o volume do sólido que fica entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e o plano z = 9. O assunto é cálculo de volume usando integrais duplas/triplas em coordenadas polares e vamos usar mudança de variáveis para facilitar a integração.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção no plano xy, igualamos as superfícies: x^2 + y^2 = 9. Isso define um círculo de raio 3 centrado na origem. Então a projeção D é o disco 0 <= r <= 3,; 0 <= theta <= 2pi.

Passo 3

Usamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = r^2, dA = r,dr,dtheta

Passo 4

O volume do sólido pode ser escrito como a integral da diferença entre o topo e o fundo sobre D:
V = integral duplaD l(ztopo - zfundor),dA = integral0^2pi integral0^3 l(9 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Agora calculamos a integral interna em r:
integral0^3 (9r - r^3),dr = [9r^22 - r^44]0^3 = 9cdot92 - 814 = 812 - 814 = 814

Passo 6

Multiplicando pelo fator angular integral0^2pidtheta = 2pi, obtemos:
V = 2pi cdot 814 = 81pi2

Resposta

81pi2

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