Calcule o volume da região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Aqui a gente quer calcular o volume do sólido que fica entre o paraboloide
e o plano
. O assunto é cálculo de volume usando integrais duplas/triplas em coordenadas polares e vamos usar mudança de variáveis para facilitar a integração.
Passo 2
Para encontrar a região de projeção no plano xy, igualamos as superfícies:
. Isso define um círculo de raio 3 centrado na origem. Então a projeção
é o disco
.
Passo 3
Usamos coordenadas polares:
Passo 4
O volume do sólido pode ser escrito como a integral da diferença entre o topo e o fundo sobre
:
Passo 5
Agora calculamos a integral interna em
:
Passo 6
Multiplicando pelo fator angular
, obtemos: