Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d V, onde)W é a região localizada acima do coneéãz=\sqrt{x{2}+y{2}} e dentro da esferax{2}+y{2}+z^{2}=16$.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{W} e^{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,dV
onde W é a região acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região e do integrando.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi
com Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi. A esfera vira \rho=4. O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} implica
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi\;\Longrightarrow\;\varphi=\frac{\pi}{4}.
Como queremos a parte acima do cone, temos
0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\quad 0\le\rho\le4,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

O termo \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2} vira \rho^{3}. Assim a integral se torna
\iiint_{W} e^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{4} e^{\rho^{3}}\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Como a integral se separa em parte angular e parte radial, calculemos primeiro a parte angular:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} =1-\frac{\sqrt2}{2} =1-\frac{1}{\sqrt2}.
Logo a parte angular é
2\pi\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 5

Agora a parte radial
\int_{0}^{4}e^{\rho^{3}}\rho^{2}\,d\rho.
Fazemos u=\rho^{3}, du=3\rho^{2}d\rho, então
\int_{0}^{4}e^{\rho^{3}}\rho^{2}\,d\rho =\frac{1}{3}\int_{0}^{64}e^{u}\,du =\frac{e^{64}-1}{3}.

Passo 6

Multiplicando parte angular e radial, obtemos
\iiint_{W}e^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dV =2\pi\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)\cdot\frac{e^{64}-1}{3} =\frac{2\pi}{3}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)\bigl(e^{64}-1\bigr).
Podemos reescrever
1-\frac{1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2} =\frac{2-\sqrt2}{2},
levando a forma mais condensada abaixo.

Resposta

\frac{\pi(2-\sqrt2)}{3}\,\bigl(e^{64}-1\bigr).

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