Resolva as seguintes integrais triplas:
, onde)W
z=\sqrt{x{2}+y{2}}
x{2}+y{2}+z^{2}=16$.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
é a região acima do cone
e dentro da esfera
. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a descrição da região e do integrando.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
com Jacobiano
. A esfera vira
. O cone
implica
Como queremos a parte acima do cone, temos
Passo 3
O termo
vira
. Assim a integral se torna
Passo 4
Como a integral se separa em parte angular e parte radial, calculemos primeiro a parte angular:
Logo a parte angular é
Passo 5
Agora a parte radial
Fazemos
,
, então
Passo 6
Multiplicando parte angular e radial, obtemos
Podemos reescrever
levando a forma mais condensada abaixo.