Calcule o volume da região que está entre a superfície z=2-x y^2 e acima da região D no plano x y. D é limitado por y=x^2 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região abaixo da superfície
z = 2 - x,y^2
e acima da região D no plano xy, onde D é limitada pelas curvas y = x^2, pela reta x=1 e pelo eixo y=0. Para isso vamos usar a fórmula do volume via integral dupla:
V = integral duplaD l(2 - x,y^2r),dA

Passo 2

Precisamos descrever D em coordenadas cartesianas. Como D fica no primeiro quadrante, entre y=0 e y=x^2, e x varia de 0 até 1, temos
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^2

Passo 3

Escrevemos a integral iterada para V:
V = integralx=0^1 integraly=0^x^2 l(2 - x,y^2r),dy,dx
Começamos calculando a integral interna em y:
integral0^x^2 l(2 - x,y^2r),dy = [2y - x,y^33]0^x^2 = 2x^2 - x,(x^2)^33 = 2x^2 - x^73

Passo 4

Agora integramos em x:
V = integral0^1 l(2x^2 - tfracx^73r),dx = 2integral0^1 x^2,dx ;-;tfrac13integral0^1 x^7,dx
Calculando cada termo:
2integral0^1 x^2,dx = 2cdot13 = 23, 13integral0^1 x^7,dx = 13cdot18 = 124
Logo
V = 23 - 124 = 1624 - 124 = 1524 = 58

Resposta

58

Exercícios relacionados