Sabendo que cos (x)=c+23 e sem(x)=raiz-c+59, calcule tan (2 x)

Passo 1

O enunciado diz que
cos x = c + tfrac23 e sin x = raiz-c + tfrac59,
e pede tan(2x).
Conteúdo: trigonometria básica (identidade pitagórica e fórmula do ângulo duplo para tangente).
Vamos usar:
  1. sin^2x + cos^2x = 1 para achar c.
  2. tan(2x)=dfrac2tan x1-tan^2x para chegar em tan(2x).

Passo 2

Aplique sin^2x + cos^2x = 1.
Substituindo
l(c+tfrac23r)^2 ;+;l(raiz-c+tfrac59r)^2 = 1
Isso vira
l(c+tfrac23r)^2 ;+;(-c+tfrac59) ;=;1

Passo 3

Resolva para c:
(c+tfrac23)^2 +(-c+tfrac59)=1 ;Longrightarrow; c^2 + tfrac43c + tfrac49 - c + tfrac59 = 1
Longrightarrow; c^2 + tfrac13c + tfrac4+59-1 = 0 ;Longrightarrow; c^2 + tfrac13c + 0 = 0
Longrightarrow; cl(c+tfrac13r)=0 ;Longrightarrow; c=0ou c=-tfrac13

Passo 4

Para cada c achamos tan x = dfracsin xcos x:
  1. Se c=0:
    cos x = tfrac23,;sin x = raiztfrac59=tfracraiz53,
tan x = tfracraiz53tfrac23 = raiz52
  1. Se c=-tfrac13:
    cos x = -tfrac13+tfrac23=tfrac13,;sin x = raiztfrac13+tfrac59=raiztfrac89=tfrac2raiz23,
tan x = tfrac2raiz23tfrac13 = 2raiz2

Passo 5

Use tan(2x)=2tan x1-tan^2x:
  1. Para tan x=tfracraiz52:
tan(2x) =2cdotraiz521-(raiz52)^2 =raiz51-tfrac54 =raiz5-tfrac14 =-4raiz5
  1. Para tan x=2raiz2:
tan(2x) =2cdot2raiz21-(2raiz2)^2 =4raiz21-8 =4raiz2-7 =-4raiz27

Resposta

tan(2x) = -4raiz5 ou tan(2x) = -tfrac4raiz27

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