Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade juntos! A questão pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a seguinte desigualdade:
Vamos trabalhar com álgebra de frações e inequações. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para simplificar a expressão e encontrar os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar tudo de um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, precisamos combinar as frações. Para isso, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador da fração:
Então, a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, para facilitar a resolução, vamos combinar os termos do numerador em uma única fração:
Isso acontece porque multiplicamos tudo por
para eliminar a fração dentro do numerador.
Passo 5
Nosso próximo passo é identificar os pontos críticos, ou seja, os valores de
que fazem o numerador ou o denominador ser zero. Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.
- Numerador igual a zero:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
- Denominador igual a zero:
Passo 6
Agora, vamos colocar todos esses pontos críticos na linha dos números reais:
Esses pontos vão dividir a linha em vários intervalos. Precisamos verificar em qual deles a desigualdade é verdadeira (ou seja, onde a expressão é maior que zero).
Passo 7
Vamos analisar cada intervalo:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
- Intervalo 4:
- Intervalo 5:
Em cada intervalo, escolhemos um número de teste e substituímos na expressão
para ver se é positivo ou negativo.
Passo 8
Após testar os intervalos, identificamos onde a expressão é positiva. Lembrando que devemos excluir os valores que tornam o denominador zero (
e
).
Resposta
Os valores de
que satisfazem a desigualdade são: