Questão 1) (Vale 1,5)
Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
1x-34+x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade juntos! A questão pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a seguinte desigualdade:
1x - 34 + x > 1
Vamos trabalhar com álgebra de frações e inequações. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para simplificar a expressão e encontrar os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar tudo de um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos 1 de ambos os lados:
1x - 34 + x - 1 > 0
Agora, precisamos combinar as frações. Para isso, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
1x - 3 - (4 + x)4 + x > 0

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da fração:
1x - 3 - 4 - x = 1x - 7 - x
Então, a desigualdade fica:
1x - 7 - x4 + x > 0

Passo 4

Agora, para facilitar a resolução, vamos combinar os termos do numerador em uma única fração:
1 - 7x - x^2x(4 + x) > 0
Isso acontece porque multiplicamos tudo por x para eliminar a fração dentro do numerador.

Passo 5

Nosso próximo passo é identificar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que fazem o numerador ou o denominador ser zero. Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.
  1. Numerador igual a zero:
1 - 7x - x^2 = 0 Rightarrow x^2 + 7x - 1 = 0
Resolvendo a equação quadrática, temos:
x = -7 pm raiz49 + 42 = -7 pm raiz532
  1. Denominador igual a zero:
x(4 + x) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = -4

Passo 6

Agora, vamos colocar todos esses pontos críticos na linha dos números reais:
x = -7 - raiz532, x = -4, x = 0, x = -7 + raiz532
Esses pontos vão dividir a linha em vários intervalos. Precisamos verificar em qual deles a desigualdade é verdadeira (ou seja, onde a expressão é maior que zero).

Passo 7

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Intervalo 1: x < -7 - raiz532
  2. Intervalo 2: -7 - raiz532 < x < -4
  3. Intervalo 3: -4 < x < 0
  4. Intervalo 4: 0 < x < -7 + raiz532
  5. Intervalo 5: x > -7 + raiz532
Em cada intervalo, escolhemos um número de teste e substituímos na expressão 1 - 7x - x^2x(4 + x) para ver se é positivo ou negativo.

Passo 8

Após testar os intervalos, identificamos onde a expressão é positiva. Lembrando que devemos excluir os valores que tornam o denominador zero ( x = 0 e x = -4 ).

Resposta

Os valores de x que satisfazem a desigualdade são:
x in ( -infty, -7 - raiz532 ) cup ( 0, -7 + raiz532 )

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