Resolva a equação e^x+3 e^-x=4 para x>0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação e^x + 3e^-x = 4 com x>0. É um problema de equação exponencial: vamos usar substituição para virar uma equação do 2º grau e depois voltar pra x. Precisamos lembrar que e^-x=1/e^x, que e^x>0 e como resolver uma quadrática.

Passo 2

Pra simplificar, definimos t = e^x. Aí e^-x=1/t. Substituindo na equação, fica
t + 3cdot1t = 4
Agora, pra eliminar a fração, multiplicamos tudo por t:
t^2 + 3 = 4t,
ou seja
t^2 - 4t + 3 = 0

Passo 3

Vamos resolver t^2 - 4t + 3 = 0. Buscamos dois números que multiplicam para +3 e somam para -4: são -1 e -3. Então
(t - 1)(t - 3) = 0,
logo
t = 1 ou t = 3

Passo 4

Lembra que t=e^x>0, então ambas raízes são válidas para t. Agora voltamos pra x:
  • Se e^x=1, então x=ln(1)=0.
  • Se e^x=3, então x=ln(3).
    Mas o enunciado pede x>0, então descartamos x=0 e ficamos com
x = ln(3)

Resposta

x = ln(3)

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