Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) e .
f) A região definida pelas desigualdades , e .
b) e .
g) e .
c) e .
h) .
d) e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando integrais duplas, a área de várias regiões planas delimitadas por curvas algébricas. Em cada caso precisamos:
Determinar os pontos de interseção das curvas.
Escolher uma ordem de integração (dxd y ou dydx) que torne o cálculo direto.
Expressar a área como
com os limites apropriados e avaliar a integral.
Passo 2
Caso (a): região entre e .
As curvas se interceptam em
Para , temos . Logo
Passo 3
Caso (b): região entre e .
Interseção:
Para , . Então
Passo 4
Caso (c): região entre e .
Interseção: de e .
Igualando dá ou .
Para , varia de a .
Passo 5
Caso (d): região limitada por e .
Interseção: de em segue , ou seja .
Por simetria em torno do eixo , área total é
Calcula-se
logo
Passo 6
Caso (f): região definida por
Fixado , vai de até .
A equação dá .
Para : de a .
Para : de a .
Acima de , não há ponto com .
Passo 7
Caso (g): região delimitada por
Usando fatias horizontais, nota-se que vai de a e, para cada ,
Fazendo a integração em três trechos de , obtém-se após algebra
Passo 8
Caso (h): região limitada por
com e .
Fazendo a mudança de variáveis
temos e o Jacobiano dá .
Logo
Áreah =integral duplaR dx,dy =integralu=a^bintegralv=alpha^beta13,dv,du =(b-a),(beta-alpha)3 Á
Resposta
a) tfrac112
b) 72
c) tfrac163
d) 5arcsin!l(tfrac2raiz5r)+tfrac23
f) tfrac12+ln2
g) tfrac7120,a^2
h) tfrac(b-a)(beta-alpha)3