Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) y=x^3 e y=x^2.
f) A região definida pelas desigualdades x y <= 2, x <= y <= x+1 e x >= 0.
b) y=x^2-9 e y=9-x^2.
g) x=y, x=2 y, x+y=a e x+3 y=a(a>0).
c) y^2=4 x e x^2=4 y.
h) x^2=a y, x^2=b y, y^2=alpha x, y^2=beta x(0<a<b, 0<alpha<beta).
d) y^2=4 x e x^2+y^2=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando integrais duplas, a área de várias regiões planas delimitadas por curvas algébricas. Em cada caso precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção das curvas.
  2. Escolher uma ordem de integração (dxd y ou dydx) que torne o cálculo direto.
  3. Expressar a área como
integral duplaR dA
com os limites apropriados e avaliar a integral.

Passo 2

Caso (a): região entre y=x^3 e y=x^2.
As curvas se interceptam em
x^3 = x^2 ;Longrightarrow; x^2(x-1)=0 ;Longrightarrow; x=0,1
Para 0<= x<=1, temos x^3<= y<= x^2. Logo
Áreaa =integralx=0^1l(x^2 - x^3r),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112 Á

Passo 3

Caso (b): região entre y=x^2-9 e y=9-x^2.
Interseção:
x^2-9=9-x^2 ;Longrightarrow;2x^2=18 ;Longrightarrow;x=pm3
Para -3<= x<=3, x^2-9<= y<=9-x^2. Então
Áreab =integral-3^3l[(9-x^2)-(x^2-9)r]dx =integral-3^3(18-2x^2),dx =2integral0^3(18-2x^2),dx =2l[18x-tfrac2x^33r]0^3 =72 Á

Passo 4

Caso (c): região entre y^2=4x e x^2=4y.
Interseção: de y^2=4xRightarrow x=y^2/4 e x^2=4yRightarrow x=2raiz y.
Igualando y^2/4=2raiz y y=0 ou y=4.
Para 0<= y<=4, x varia de xrm esquerda=y^2/4 a xrm direita=2raiz y.
Áreac =integraly=0^4l(2raiz y - tfracy^24r)dy =l[tfrac43y^3/2-tfracy^312r]0^4 =tfrac323-tfrac6412 =tfrac163 Á

Passo 5

Caso (d): região limitada por y^2=4x e x^2+y^2=5.
Interseção: de x=y^2/4 em x^2+y^2=5 segue y^2=4, ou seja y=pm2.
Por simetria em torno do eixo x, área total é
2integraly=0^2l(raiz5-y^2-tfracy^24r)dy
Calcula-se
integral0^2raiz5-y^2,dy =1+tfrac52arcsin!l(tfrac2raiz5r), integral0^2tfracy^24,dy =tfrac23,
logo
Áread =2l(1+tfrac52arcsin!tfrac2raiz5-tfrac23r) =;5,arcsin!tfrac2raiz5;+;tfrac23 Á

Passo 6

Caso (f): região definida por
;xy<=2,;x<= y<= x+1,;x>=0
Fixado x>=0, y vai de y=x até y=min(x+1,2/x).
A equação x+1=2/x x=1.
  • Para 0<= x<=1: y de x a x+1.
  • Para 1<= x<=raiz2: y de x a 2/x.
    Acima de raiz2, não há ponto com x<= y<=2/x.
Áreaf =integral0^11,dx +integral1^raiz2l(tfrac2x-xr),dx =1+l[2ln x -tfracx^22r]1^raiz2 =tfrac12+ln 2 Á

Passo 7

Caso (g): região delimitada por
;x=y,;x=2y,;x+y=a,;x+3y=a;(a>0)
Usando fatias horizontais, nota-se que y vai de a/5 a a/2 e, para cada y,
x;entre; maxy,;a-3y e min2y,;a-y
Fazendo a integração em três trechos de y, obtém-se após algebra
Áreag =7120,a^2 Á

Passo 8

Caso (h): região limitada por
x^2 = a,y, x^2 = b,y, y^2 = alpha,x, y^2 = beta,x,
com 0<a<b e 0<alpha<beta.
Fazendo a mudança de variáveis
u = x^2y, v = y^2x,
temos ;uin[a,b],;vin[alpha,beta] e o Jacobiano dá l|partial(x,y)/partial(u,v)r|=1/3.
Logo
Áreah =integral duplaR dx,dy =integralu=a^bintegralv=alpha^beta13,dv,du =(b-a),(beta-alpha)3 Á

Resposta

a) tfrac112
b) 72
c) tfrac163
d) 5arcsin!l(tfrac2raiz5r)+tfrac23
f) tfrac12+ln2
g) tfrac7120,a^2
h) tfrac(b-a)(beta-alpha)3

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